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unbestimmtes Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:14 Mo 30.03.2009
Autor: tedd

Aufgabe
Berechnen Sie das folgende Integral

[mm] \integral_{}^{}{\tan(x)*\sin(x)dx} [/mm]

Also vielleicht bin ich da ja total auf dem Holzweg aber ich habe so angefangen:

$ [mm] \integral_{}^{}{\tan(x)\cdot{}\sin(x)dx}=\integral_{}^{}{\bruch{\sin^2(x)}{\cos(x)}dx}=\integral_{}^{}{\bruch{\sin^2(x)}{\cos(x)}\cdot{}\bruch{\cos(x)}{\cos(x)}dx} [/mm] $
$ [mm] =\integral_{}^{}{\bruch{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\cdot{}\cos(x)dx}= [/mm] $
$ [mm] =\integral_{}^{}{\bruch{\sin^2(x)}{1-\sin^2(x)}\cdot{}\cos(x)dx} [/mm] $

Substitution:
$ [mm] z(x)=\sin(x) [/mm] $
$ [mm] dz=\cos(x)\cdot{}dx [/mm] $

$ [mm] =\integral_{}^{}{\bruch{z^2}{1-z^2}dz} [/mm] $

Ab hier fällt es mir jetzt schwer weiterzumachen...

Eine Idee wäre so:

$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{z^2}{1-z^2}dz}=\integral_{}^{}{z\cdot{}\bruch{z}{1-z^2}dz} [/mm] $

---------------------------
NR:

$ [mm] \integral{}^{}{\bruch{z}{1-z^2}dz} [/mm] $

$ [mm] s(z)=1-z^2 [/mm] $
ds=-2z*dz

$ [mm] \integral{}^{}{\bruch{z}{1-z^2}}=-\bruch{1}{2}\integral{}^{}{\bruch{-2\cdot{}z}{1-z^2}dz} [/mm] $

$ [mm] =-\bruch{1}{2}\integral{}^{}{\bruch{1}{s}ds}=-\bruch{1}{2}*\ln(|s|)=-\bruch{1}{2}*ln(|1-z^2|) [/mm] $
---------------------------

$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{z^2}{1-z^2}dz}=\integral_{}^{}{z\cdot{}\bruch{z}{1-z^2}dz} [/mm] $

[mm] u'(z)=\bruch{z}{1-z^2} [/mm]
[mm] u(z)=-\bruch{1}{2}*ln(|1-z^2|) [/mm]

v(z)=z
v'(z)=1

Dann:

[mm] \integral_{}^{}{z\cdot{}\bruch{z}{1-z^2}dz}=-\bruch{1}{2}*ln(|1-z^2|)*z-\integral_{}^{}{-\bruch{1}{2}*ln(|1-z^2|)dz}=-\bruch{1}{2}*ln(|1-z^2|)*z+\bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{ln(|1-z^2|)dz} [/mm]

Und jetzt noch das Integral [mm] \integral_{}^{}{ln(|1-z^2|)dz} [/mm] zu lösen kriege ich nicht hin...

gibt es da vielleicht einen einfacheren Weg?


Danke und Gruß,
tedd
[ok]

        
Bezug
unbestimmtes Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:32 Mo 30.03.2009
Autor: Teufel

Hi!

[mm] ln|1-z^2|=ln|(1-z)(1+z)|=ln|1-z|+ln|1+z|, [/mm] wenn es dir hilft!

Einfacher wäre es meiner Meinung nach aber so gegangen:

[...]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{z^2}{1-z^2}dz}=-\integral_{}^{}{\bruch{z^2}{z^2-1}dz}=-\integral_{}^{}{\bruch{z^2-1+1}{z^2-1}dz}=-\integral_{}^{}{1+\bruch{1}{z^2-1}dz} [/mm]

[mm] \bruch{1}{z^2-1} [/mm] kannst du mit Partialbruchzerlegung zu [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{1}{z-1}-\bruch{1}{z+1}) [/mm] umformen und das kannst du dann alles schön einfach integrieren und zusammenfassen.

[anon] teufel

Bezug
                
Bezug
unbestimmtes Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:36 Mo 30.03.2009
Autor: tedd

Ui nicht schlecht! :-)

Danke für die Hilfe Teufel.

Gruß,
tedd

Bezug
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