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unbestimmtes Integral: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:48 Sa 26.06.2010
Autor: SnafuBernd

Aufgabe
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}^3} dx} [/mm]

Hi,

Hat hier jemand eine Idee dafür, habe es probiert zu substituieren mit t:= [mm] x^2 [/mm] und [mm] t:=\sqrt{1+x^2}, [/mm] aber damit wird die Fkt. nur noch schwerer zu integrieren. Ich meine von Prof gehört zu haben das man es mit cosh(x) oder sinh(x) substituieren soll, aber da sehe ich nicht, wie ich das machen soll, damit mir das was hilft?

Snafu

        
Bezug
unbestimmtes Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 Sa 26.06.2010
Autor: MontBlanc

hallo,

> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}^3} dx}[/mm]
>  Hi,
>  
> Hat hier jemand eine Idee dafür, habe es probiert zu
> substituieren mit t:= [mm]x^2[/mm] und [mm]t:=\sqrt{1+x^2},[/mm]   > aber damit
> wird die Fkt. nur noch schwerer zu integrieren. Ich meine
> von Prof gehört zu haben das man es mit cosh(x) oder
> sinh(x) substituieren soll, aber da sehe ich nicht, wie ich
> das machen soll, damit mir das was hilft?

Das ist eine möglichkeit. Ansonsten geht auch noch x=tan(u) . Mach doch mal und zeig wie weit du kommst.

> Snafu

LG

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unbestimmtes Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Sa 26.06.2010
Autor: SnafuBernd

Hi,

t:= [mm] \sqrt{1+x^2} [/mm] , dt = [mm] 0.5(1+x^2)^{-0.5}2x [/mm] dx <=> dx = [mm] \frac{\sqrt{1+x^2}}{2x} [/mm] dt = [mm] \frac{t}{2\sqrt{t^2-1}} [/mm]
=> [mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}^3} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{t^3}\frac{t}{2\sqrt{t^2-1}} dt} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{t^2}\frac{1}{2\sqrt{t^2-1}} dt} [/mm] , v' := [mm] \frac{1}{t^2} [/mm] und u:= [mm] \frac{1}{2\sqrt{t^2-1}} [/mm]
[mm] =-t^{-1}*0.5(t^2-1)^{-0.5} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{t}\frac{-1(t^2-1)^{-\frac{3}{2}}}{4}2t dt} [/mm]

Snafu

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unbestimmtes Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Sa 26.06.2010
Autor: MontBlanc

hallo,

ich sprach von der cosh / tan substitution. so wie du es da machst kommst du nicht weiter. Ich wollte sehen wie weit du damit kommst.

LG

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unbestimmtes Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Sa 26.06.2010
Autor: SnafuBernd

Hi,

ja das ist ja grad mein Problem, ich weiß nicht was ich mit was substituieren soll? Wo soll ich da denn cosh(x) einsetzten, damit er mir was bringt?

Snafu

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unbestimmtes Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Sa 26.06.2010
Autor: math101

Hallo, Snafu!!
Versuch  mal mit x=sinh(t) und dx=cosh(t)dt zu substituieren, dann guck, ob du die Gleichung [mm] cosh^2(t)-sinh^2(t)=1 [/mm] anwenden kannst. Dann bist du fast fertig.
Beste grüße

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Bezug
unbestimmtes Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:27 So 27.06.2010
Autor: SnafuBernd

Hi,

ah jetzt sehe ich es:
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}^3} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+sinh(t)^2}^3} cosh(t)dt}= \integral_{}^{}{\frac{1}{cosh(t)^3} cosh(t)dt} [/mm] =
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{cosh(x)^2} dt}= [/mm] tanh(t)

[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}^3} dx} [/mm] = [mm] tanh(sinh^{-1}(x)) [/mm]
=>was ist jetzt [mm] tanh(sinh^{-1}(x))? [/mm]

Snafu

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Bezug
unbestimmtes Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 So 27.06.2010
Autor: fencheltee


> Hi,
>
> ah jetzt sehe ich es:
>  [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}^3} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+sinh(t)^2}^3} cosh(t)dt}= \integral_{}^{}{\frac{1}{cosh(t)^3} cosh(t)dt}[/mm]
> =
>  [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{cosh(x)^2} dt}=[/mm] tanh(t)
>
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}^3} dx}[/mm] =
> [mm]tanh(sinh^{-1}(x))[/mm]
>  =>was ist jetzt [mm]tanh(sinh^{-1}(x))?[/mm]

[mm] =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} [/mm]

>  
> Snafu


gruß tee

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unbestimmtes Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:19 So 27.06.2010
Autor: SnafuBernd

Hi,

kann man das auch irgendwie zeigen? oder ist das definiert?

Snafu

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unbestimmtes Integral: Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 So 27.06.2010
Autor: Loddar

Hallo SnafuBernd!


Wende zunächst die Definition [mm] $\tanh(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ [/mm] an.

Damit bleibt noch das Problem mit [mm] $\cosh\left[\sinh^{-1}(x)\right]$ [/mm] .
Bedenke hierfür, dass gilt:
[mm] $$\cosh^2(z)-\sinh^2(z) [/mm] \ = \ 1$$

Gruß
Loddar


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unbestimmtes Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 So 27.06.2010
Autor: SnafuBernd

Vielen Danke. Jetzt passts.

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