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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 So 02.10.2011 | | Autor: | aNd12121 |
| Aufgabe | Berechnen Sie das unbestimmte Integral:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{\wurzel{a^{2} - x^{2}}}dx} [/mm] |
Hallo,
ich habe nochmal die Bitte, dass ihr euch meinen Läsungsweg anschaut, weil auch hier komme ich leider nicht genau auf die vorgegebene Lösung.
zunächst habe ich den Bruch vereinfacht, um einfach integrieren zu können:
f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{a^{2} - x^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a*\wurzel{1 - x^{2}/a^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a*\wurzel{1 - {(x/a)}^2}}
[/mm]
Das 1/a kann ich vor das Integral ziehen, wenn ich jetzt integriere komme ich auf:
[mm] \bruch{1}{a}*arcsin(\bruch{x}{a}) [/mm] + C
In den Lösungen taucht das 1/a nicht auf. Kann mir jemand vllt sagen, wo mein Fehler liegt?
MIt freundlichen Grüßen
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> Berechnen Sie das unbestimmte Integral:
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> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{\wurzel{a^{2} - x^{2}}}dx}[/mm]
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> Hallo,
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> ich habe nochmal die Bitte, dass ihr euch meinen
> Läsungsweg anschaut, weil auch hier komme ich leider nicht
> genau auf die vorgegebene Lösung.
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> zunächst habe ich den Bruch vereinfacht, um einfach
> integrieren zu können:
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> f(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{a^{2} - x^{2}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{a*\wurzel{1 - x^{2}/a^{2}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{a*\wurzel{1 - {(x/a)}^2}}[/mm]
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> Das 1/a kann ich vor das Integral ziehen, wenn ich jetzt
> integriere komme ich auf:
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> [mm]\bruch{1}{a}*arcsin(\bruch{x}{a})[/mm] + C
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> In den Lösungen taucht das 1/a nicht auf. Kann mir jemand
> vllt sagen, wo mein Fehler liegt?
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> MIt freundlichen Grüßen
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moin,
Du hast die innere Ableitung vergessen.
Bevor du integrieren kannst musst du erst noch substituieren:
[mm] $\integral \bruch{1}{a*\wurzel{1 - {(x/a)}^2}} \, [/mm] dx = [mm] \frac{1}{a}* \integral \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \red{*a} \, [/mm] dy$
bedenke: beim Substituieren musst du durch die Ableitung dessen, was du ersetzt hast, teilen.
und wenn du durch [mm] $\frac{1}{a}$ [/mm] teilst löst sich dein Problem wunderschön in Luft auf. ;)
MfG
Schadowmaster
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