unbestimmtes Integral (1/cos) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes unbestimmtes Integral:
[mm] $\integral{\bruch{1}{cos(x)} dx}$ [/mm] |
Also ich habe folgendes probiert:
Da [mm] $cos(2t)=cos^2(t)-sin^2(t)$:
[/mm]
[mm] $cos(x)=cos^2(\bruch{x}{2})-sin^2(\bruch{x}{2})$
[/mm]
und da:
[mm] $cos^2(\bruch{x}{2})+sin^2(\bruch{x}{2})=1$:
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{cos(x)}=\bruch{cos^2(\bruch{x}{2})+sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})-sin^2(\bruch{x}{2})}$
[/mm]
Nun erweitere ich mit [mm] $\bruch{1}{cos^2(x)}$:
[/mm]
[mm] $=\bruch{1+\bruch{sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})}}{1-\bruch{sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})}}=\bruch{1+tan^2(\bruch{x}{2})}{1-tan^2(\bruch{x}{2})}$
[/mm]
Jetzt kann ich ja [mm] $tan(\bruch{x}{2})$ [/mm] substituieren.
Dann erhalte ich:
[mm] $\bruch{1+t^2}{1-t^2}$
[/mm]
Somit habe ich [mm] $t=tan(\bruch{x}{2})$
[/mm]
also:
[mm] $dt=\bruch{1}{2cos^2(\bruch{x}{2})}dx$
[/mm]
Und somit:
[mm] $dx=2cos^2(\bruch{x}{2})dt$
[/mm]
Stimmt das so?
Aber irgendwie komme ich nun nicht weiter.
Vielen Dank
LG
Dudi
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Hallo DudiPupan,
> Berechnen Sie folgendes unbestimmtes Integral:
> [mm]\integral{\bruch{1}{cos(x)} dx}[/mm]
>
>
> Also ich habe folgendes probiert:
> Da [mm]cos(2t)=cos^2(t)-sin^2(t)[/mm]:
> [mm]cos(x)=cos^2(\bruch{x}{2})-sin^2(\bruch{x}{2})[/mm]
> und da:
> [mm]cos^2(\bruch{x}{2})+sin^2(\bruch{x}{2})=1[/mm]:
>
> [mm]\bruch{1}{cos(x)}=\bruch{cos^2(\bruch{x}{2})+sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})-sin^2(\bruch{x}{2})}[/mm]
> Nun erweitere ich mit [mm]\bruch{1}{cos^2(x)}[/mm]:
>
> [mm]=\bruch{1+\bruch{sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})}}{1-\bruch{sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})}}=\bruch{1+tan^2(\bruch{x}{2})}{1-tan^2(\bruch{x}{2})}[/mm]
> Jetzt kann ich ja [mm]tan(\bruch{x}{2})[/mm] substituieren.
> Dann erhalte ich:
> [mm]\bruch{1+t^2}{1-t^2}[/mm]
> Somit habe ich [mm]t=tan(\bruch{x}{2})[/mm]
> also:
> [mm]dt=\bruch{1}{2cos^2(\bruch{x}{2})}dx[/mm]
> Und somit:
> [mm]dx=2cos^2(\bruch{x}{2})dt[/mm]
> Stimmt das so?
Ja.
> Aber irgendwie komme ich nun nicht weiter.
>
Es ist doch:
[mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}[/mm]
Mit der Subsitution [mm]t=\tan\left(\bruch{x}{2}\right)[/mm] folgt:
[mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}=\bruch{1}{1+t^{2}[/mm]
> Vielen Dank
>
> LG
> Dudi
>
Gruss
MathePower
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> Hallo DudiPupan,
>
>
> > Berechnen Sie folgendes unbestimmtes Integral:
> > [mm]\integral{\bruch{1}{cos(x)} dx}[/mm]
> >
> >
> > Also ich habe folgendes probiert:
> > Da [mm]cos(2t)=cos^2(t)-sin^2(t)[/mm]:
> > [mm]cos(x)=cos^2(\bruch{x}{2})-sin^2(\bruch{x}{2})[/mm]
> > und da:
> > [mm]cos^2(\bruch{x}{2})+sin^2(\bruch{x}{2})=1[/mm]:
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{cos(x)}=\bruch{cos^2(\bruch{x}{2})+sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})-sin^2(\bruch{x}{2})}[/mm]
> > Nun erweitere ich mit [mm]\bruch{1}{cos^2(x)}[/mm]:
> >
> >
> [mm]=\bruch{1+\bruch{sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})}}{1-\bruch{sin^2(\bruch{x}{2})}{cos^2(\bruch{x}{2})}}=\bruch{1+tan^2(\bruch{x}{2})}{1-tan^2(\bruch{x}{2})}[/mm]
> > Jetzt kann ich ja [mm]tan(\bruch{x}{2})[/mm] substituieren.
> > Dann erhalte ich:
> > [mm]\bruch{1+t^2}{1-t^2}[/mm]
> > Somit habe ich [mm]t=tan(\bruch{x}{2})[/mm]
> > also:
> > [mm]dt=\bruch{1}{2cos^2(\bruch{x}{2})}dx[/mm]
> > Und somit:
> > [mm]dx=2cos^2(\bruch{x}{2})dt[/mm]
> > Stimmt das so?
>
>
> Ja.
>
>
> > Aber irgendwie komme ich nun nicht weiter.
> >
>
>
> Es ist doch:
>
> [mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}[/mm]
>
> Mit der Subsitution [mm]t=\tan\left(\bruch{x}{2}\right)[/mm] folgt:
>
> [mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}=\bruch{1}{1+t^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Aaah, okay, dann erhalte ich:
$dx=\bruch{2}{1+t^2}dt$
also:
$\integral{\bruch{2}{1-t^2}du=2\integral{\bruch{1}{1-t^2}du$
Aber irgendwie komme ich hier wieder ein wenig ins stolpern...
Vielen Dank!
>
>
> > Vielen Dank
> >
> > LG
> > Dudi
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo DudiPupan,
> >
> >
> > Es ist doch:
> >
> > [mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}[/mm]
> >
> > Mit der Subsitution [mm]t=\tan\left(\bruch{x}{2}\right)[/mm] folgt:
> >
> >
> [mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}=\bruch{1}{1+t^{2}[/mm]
>
>
> Aaah, okay, dann erhalte ich:
>
> [mm]dx=\bruch{2}{1+t^2}dt[/mm]
> also:
>
> [mm]\integral{\bruch{2}{1-t^2}du=2\integral{\bruch{1}{1-t^2}du[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]\integral{\bruch{2}{1-t^2}d\blue{t}=2\integral{\bruch{1}{1-t^2}d\blue{t}[/mm]
> Aber irgendwie komme ich hier wieder ein wenig ins
> stolpern...
>
Jetzt machst Du eine Partialbruchzerlegung des Integranden,
und integrierst anschliessend.
> Vielen Dank!
>
> >
> >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > LG
> > > Dudi
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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> Hallo DudiPupan,
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> > >
> > >
> > > Es ist doch:
> > >
> > > [mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}[/mm]
> > >
> > > Mit der Subsitution [mm]t=\tan\left(\bruch{x}{2}\right)[/mm] folgt:
> > >
> > >
> >
> [mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}=\bruch{1}{1+t^{2}[/mm]
> >
> >
> > Aaah, okay, dann erhalte ich:
> >
> > [mm]dx=\bruch{2}{1+t^2}dt[/mm]
> > also:
> >
> > [mm]\integral{\bruch{2}{1-t^2}du=2\integral{\bruch{1}{1-t^2}du[/mm]
> >
>
>
> Hier muss es doch lauten:
>
> [mm]\integral{\bruch{2}{1-t^2}d\blue{t}=2\integral{\bruch{1}{1-t^2}d\blue{t}[/mm]
>
Oh ja, entschuldigung - kleiner Tippfehler
>
> > Aber irgendwie komme ich hier wieder ein wenig ins
> > stolpern...
> >
>
>
> Jetzt machst Du eine Partialbruchzerlegung des
> Integranden,
> und integrierst anschliessend.
>
Also folgendermaqßen:
[mm] $\bruch{A}{1+t}+\bruch{B}{1-t}=\bruch{A((1-t)+B(1+t)}{(1+t^2)}=\bruch{t(B-A)+A+B}{1-t^2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow A=\bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm] $B=\bruch{1}{2}$
[/mm]
somit:
[mm] $\bruch{1}{1-t^2}=\bruch{1}{2-2t}+\bruch{1}{2+2t}=\bruch{1}{2}\bruch{1}{1-t}+\bruch{1}{1+t}$
[/mm]
Daraus ergibt sich dann:
[mm] $\integral{\bruch{1}{1-t}+\bruch{1}{1+t}dt}=\integral{\bruch{1}{1-t}dt}+\integral{\bruch{1}{1+t}dt}=-ln|1-t|+ln|1+t|=-ln|1-tan(\bruch{x}{2})|+ln|1+tan(\bruch{x}{2})|=ln|1+tan(\bruch{x}{2})|-ln|1-tan(\bruch{x}{2})|=ln|\bruch{1+tan(\bruch{x}{2})}{1-tan(\bruch{x}{2})}$
[/mm]
Stimmt das??
>
> > Vielen Dank!
> >
> > >
> > >
> > > > Vielen Dank
> > > >
> > > > LG
> > > > Dudi
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> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo DudiPupan,
> > Hallo DudiPupan,
> >
> > > >
> > > >
> > > > Es ist doch:
> > > >
> > > > [mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}[/mm]
> > > >
> > > > Mit der Subsitution [mm]t=\tan\left(\bruch{x}{2}\right)[/mm] folgt:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1}{1+tan^2(\bruch{x}{2})}=\bruch{1}{1+t^{2}[/mm]
> > >
> > >
> > > Aaah, okay, dann erhalte ich:
> > >
> > > [mm]dx=\bruch{2}{1+t^2}dt[/mm]
> > > also:
> > >
> > > [mm]\integral{\bruch{2}{1-t^2}du=2\integral{\bruch{1}{1-t^2}du[/mm]
> > >
> >
> >
> > Hier muss es doch lauten:
> >
> >
> [mm]\integral{\bruch{2}{1-t^2}d\blue{t}=2\integral{\bruch{1}{1-t^2}d\blue{t}[/mm]
> >
> Oh ja, entschuldigung - kleiner Tippfehler
>
>
> >
> > > Aber irgendwie komme ich hier wieder ein wenig ins
> > > stolpern...
> > >
> >
> >
> > Jetzt machst Du eine Partialbruchzerlegung des
> > Integranden,
> > und integrierst anschliessend.
> >
>
> Also folgendermaqßen:
>
> [mm]\bruch{A}{1+t}+\bruch{B}{1-t}=\bruch{A((1-t)+B(1+t)}{(1+t^2)}=\bruch{t(B-A)+A+B}{1-t^2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow A=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]B=\bruch{1}{2}[/mm]
> somit:
>
> [mm]\bruch{1}{1-t^2}=\bruch{1}{2-2t}+\bruch{1}{2+2t}=\bruch{1}{2}\bruch{1}{1-t}+\bruch{1}{1+t}[/mm]
Hier hast Du Klammern vergessen:
[mm]\bruch{1}{1-t^2}=\bruch{1}{2-2t}+\bruch{1}{2+2t}=\bruch{1}{2}\left\blue{(}\bruch{1}{1-t}+\bruch{1}{1+t}\right
\blue{)}[/mm]
> Daraus ergibt sich dann:
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{1-t}+\bruch{1}{1+t}dt}=\integral{\bruch{1}{1-t}dt}+\integral{\bruch{1}{1+t}dt}=-ln|1-t|+ln|1+t|=-ln|1-tan(\bruch{x}{2})|+ln|1+tan(\bruch{x}{2})|=ln|1+tan(\bruch{x}{2})|-ln|1-tan(\bruch{x}{2})|=ln|\bruch{1+tan(\bruch{x}{2})}{1-tan(\bruch{x}{2})}[/mm]
> Stimmt das??
>
Ja.
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> > > Vielen Dank!
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> > > > > Vielen Dank
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> > > > > LG
> > > > > Dudi
> > > > >
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> > > > Gruss
> > > > MathePower
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> > Gruss
> > MathePower
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Gruss
MathePower
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