uneig. Integral 1/sqrt(x) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich möchte beweisen, dass
[mm] \integral_{0}^{a} \bruch{1}{\sqrt{x}} [/mm] uneigentlich integrierbar ist.
Für jedes [mm] \alpha \in [/mm] ]0,1[ ist die Funktion [mm] \bruch{1}{\alpha} |_{[0,\alpha]} [/mm] stetig und daher integrierbar. Wegen
[mm] \integral_{0}^{a} \bruch{1}{\sqrt{x}} [/mm] = 2 [mm] \sqrt{a} [/mm] - 2 [mm] \sqrt{0} \to [/mm] 2 für [mm] \alpha \to [/mm] 0
ist die Funktion uneigentlich integrierbar.
Stimmt das so?
Gruß,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 So 14.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst doch die untere Grenze gegen 0 gehen lassen!
also von r bis a integrieren 0<r<a und dann r gegen 0 gehen lassen.
Was deine Funktion [mm] 1/\alpha [/mm] da soll, versteh ich nicht, was soll die denn sein?
Gruss leduart
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Hallo leduart,
> Du musst doch die untere Grenze gegen 0 gehen lassen!
> also von r bis a integrieren 0<r<a und dann r gegen 0
> gehen lassen.
Irgendwie habe ich gerade ein Brett vor dem Kopf.
Kann ich nicht einfach sagen:
[mm] \integral_{0}^{a} \bruch{1}{\sqrt{x}} [/mm] = 2 [mm]\sqrt{a}[/mm] - 2 [mm]\sqrt{0} \to[/mm] 2 für [mm]\alpha \to[/mm] 1
> Was deine Funktion [mm]1/\alpha[/mm] da soll, versteh ich nicht,
> was soll die denn sein?
Damit war gemeint:
Für jedes [mm]\alpha \in[/mm] ]0,1[ ist die Funktion [mm]\bruch{1}{\sqrt{\alpha}} |_{[0,\alpha]}[/mm] stetig und daher integrierbar.
Danke für Deine Hilfe,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 So 14.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da [mm] 1/\wurzel{x} [/mm] bei x=0 nicht stetig ist , es wird unendlic, kann man nicht einfach von 0 an integrieren, sondern nur den GW des Integrals für untere Grenze gegen 0 betrachten. winn er existiert, sagt man das uneigentliche Integral existiert.
beim GW kommt zwar auch [mm] 2*\wurzel{a} [/mm] raus, aber genau die einfache Betrachtung musst du hinschreiben.
für alle r>0 ist das integral [mm] <2*\wurzel{a}
[/mm]
und 1/Wurzel x ist in [r,a] stetig! [mm] 0
Gruss leduart.
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Hallo leduart,
> da [mm]1/\wurzel{x}[/mm] bei x=0 nicht stetig ist , es wird
> unendlic, kann man nicht einfach von 0 an integrieren,
> sondern nur den GW des Integrals für untere Grenze gegen 0
> betrachten. winn er existiert, sagt man das uneigentliche
> Integral existiert.
Ja, stimmt. Normalerweise würde ich ja dann
[mm] \integral_{\alpha}^{1} \bruch{1}{\sqrt{x}} [/mm] betrachten. Inwiefern muss ich denn bei
[mm] \integral_{0}^{\alpha} \bruch{1}{\sqrt{x}} [/mm] noch etwas anders machen???
Es ist ja
[mm] \integral_{\beta}^{1} \bruch{1}{\sqrt{x}} [/mm] dx = 2 [mm] \sqrt{1} [/mm] - [mm] 2\sqrt{\beta} \to [/mm] 2 für [mm] \beta \to [/mm] 0
Es ist also
[mm] \integral_{\beta}^{\alpha} \bruch{1}{\sqrt{x}} [/mm] dx = 2 [mm] \sqrt{\alpha} [/mm] - [mm] 2\sqrt{\beta} \to 2\sqrt{\alpha} [/mm] für [mm] \beta \to [/mm] 0
Aber muss ich jetzt nicht auch noch zeigen, dass der Grenzwert für [mm] \alpha \to \infty [/mm] existiert?
> beim GW kommt zwar auch [mm]2*\wurzel{a}[/mm] raus, aber genau die
> einfache Betrachtung musst du hinschreiben.
> für alle r>0 ist das integral [mm]<2*\wurzel{a}[/mm]
> und 1/Wurzel x ist in [r,a] stetig! [mm]0
Ja, kann ich nachvollziehen. Aber irgendwie habe ich noch immer ein Brett vor dem Kopf. Sorry. Muss ich also wie oben die 0 durch beispielsweise [mm] \beta [/mm] ersetzen um das so zeigen zu können?
Danke für Deine Hilfe!
Anna
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Hallo Anna,
> Hallo leduart,
>
>
> > da [mm]1/\wurzel{x}[/mm] bei x=0 nicht stetig ist , es wird
> > unendlic, kann man nicht einfach von 0 an integrieren,
> > sondern nur den GW des Integrals für untere Grenze gegen 0
> > betrachten. winn er existiert, sagt man das uneigentliche
> > Integral existiert.
>
> Ja, stimmt. Normalerweise würde ich ja dann
> [mm]\integral_{\alpha}^{1} \bruch{1}{\sqrt{x}}[/mm] betrachten.
Wieso nimmst du als obere Grenze 1?
> Inwiefern muss ich denn bei
> [mm]\integral_{0}^{\alpha} \bruch{1}{\sqrt{x}}[/mm] noch etwas
> anders machen???
Es ist nur die untere Grenze problematisch, die musst du fest als [mm] $\beta$ [/mm] mit [mm] $0<\beta<\alpha$ [/mm] nehmen und nach dem Integrieren und Einsetzen der Grenzen gegen 0 gehen lassen.
>
> Es ist ja
> [mm]\integral_{\beta}^{1} \bruch{1}{\sqrt{x}}[/mm] dx = 2 [mm]\sqrt{1}[/mm]
> - [mm]2\sqrt{\beta} \to[/mm] 2 für [mm]\beta \to[/mm] 0
>
> Es ist also
> [mm]\integral_{\beta}^{\alpha} \bruch{1}{\sqrt{x}}[/mm] dx = 2 [mm]\sqrt{\alpha}[/mm] - [mm]2\sqrt{\beta} \to 2\sqrt{\alpha}[/mm] für [mm]\beta \to[/mm] 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hier hast du's nun richtig zusammengewurschtelt.
Aber wieso machst du den Zinnober davor?
>
> Aber muss ich jetzt nicht auch noch zeigen, dass der
> Grenzwert für [mm]\alpha \to \infty[/mm] existiert?
Das tut er ja nicht.
Es ist ja [mm] $2\sqrt{\alpha}\longrightarrow\infty [/mm] \ \ [mm] \text{für } [/mm] \ [mm] \alpha\to\infty$
[/mm]
Aber für jedes feste [mm] $\alpha>0$ [/mm] ist [mm] $2\sqrt{\alpha}$ [/mm] natürlich endlich
>
>
> > beim GW kommt zwar auch [mm]2*\wurzel{a}[/mm] raus, aber genau die
> > einfache Betrachtung musst du hinschreiben.
> > für alle r>0 ist das integral [mm]<2*\wurzel{a}[/mm]
> > und 1/Wurzel x ist in [r,a] stetig! [mm]0
>
> Ja, kann ich nachvollziehen. Aber irgendwie habe ich noch
> immer ein Brett vor dem Kopf. Sorry. Muss ich also wie oben
> die 0 durch beispielsweise [mm]\beta[/mm] ersetzen um das so zeigen
> zu können?
>
> Danke für Deine Hilfe!
> Anna
>
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
vielen DANK für Deine Antwort!
> > Ja, stimmt. Normalerweise würde ich ja dann
> > [mm]\integral_{\alpha}^{1} \bruch{1}{\sqrt{x}}[/mm] betrachten.
>
> Wieso nimmst du als obere Grenze 1?
Ja, war falsch. Die hat da ja gar nichts zu suchen.
> > Inwiefern muss ich denn bei
> > [mm]\integral_{0}^{\alpha} \bruch{1}{\sqrt{x}}[/mm] noch etwas
> > anders machen???
>
> Es ist nur die untere Grenze problematisch, die musst du
> fest als [mm]\beta[/mm] mit [mm]0<\beta<\alpha[/mm] nehmen und nach dem
> Integrieren und Einsetzen der Grenzen gegen 0 gehen
> lassen.
>
> >
> > Es ist ja
> > [mm]\integral_{\beta}^{1} \bruch{1}{\sqrt{x}}[/mm] dx = 2
> [mm]\sqrt{1}[/mm]
> > - [mm]2\sqrt{\beta} \to[/mm] 2 für [mm]\beta \to[/mm] 0
> >
> > Es ist also
> > [mm]\integral_{\beta}^{\alpha} \bruch{1}{\sqrt{x}}[/mm] dx = 2
> [mm]\sqrt{\alpha}[/mm] - [mm]2\sqrt{\beta} \to 2\sqrt{\alpha}[/mm] für [mm]\beta \to[/mm]
> 0
>
> Hier hast du's nun richtig zusammengewurschtelt.
>
> Aber wieso machst du den Zinnober davor?
Also nochmal zusammengefasst (und hoffentlich nun ohne Denk(ver)wirrungen meinerseits):
Es soll gezeigt werden, dass [mm] \integral_{0}^{\alpha} \bruch{1}{\sqrt{x}} [/mm] uneigentlich integrierbar ist.
Da die Funkton f := [mm] \bruch{1}{\sqrt{x}} [/mm] auf dem offenen Intervall [mm] ]0,\infty[ [/mm] stetig ist, ist f R-integrierbar auf jedem Intervall [mm] [\beta,\alpha] [/mm] für alle [mm] \alpha,\beta \in ]0,\infty[ [/mm] mit [mm] \beta [/mm] < [mm] \alpha. [/mm] Wählt man ein beliebiges [mm] \alpha \in ]0,\infty[, [/mm] so ist für alle [mm] \beta \in ]0,\infty[
[/mm]
[mm] \integral_{\beta}^{\alpha} \bruch{1}{\sqrt{x}} [/mm] dx = 2 [mm] \sqrt{\alpha} [/mm] - 2 [mm] \sqrt{\beta} \to [/mm] 2 [mm] \sqrt{\alpha} [/mm] für [mm] \beta \to [/mm] 0
Ist somit schon korrekt gezeigt, dass das Integral uneigentlich integrierbar ist?
>
> >
> > Aber muss ich jetzt nicht auch noch zeigen, dass der
> > Grenzwert für [mm]\alpha \to \infty[/mm] existiert?
>
> Das tut er ja nicht.
Ja. Ich dachte, ein Integral ist dann uneigentlich integrierbar, wenn die beidseitigen Grenzwerte existieren. Aber der für [mm] \alpha \to \infty [/mm] existiert ja gar nicht [ bzw. ist 2 [mm] \sqrt{\alpha} [/mm] - 2 [mm] \sqrt{\beta} [/mm] für [mm] \alpha [/mm] ?].
Gruß
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Mo 15.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo schachuzipus,
>
> vielen DANK für Deine Antwort!
>
> > > Ja, stimmt. Normalerweise würde ich ja dann
> > > [mm]\integral_{\alpha}^{1} \bruch{1}{\sqrt{x}}[/mm]
> betrachten.
> >
> > Wieso nimmst du als obere Grenze 1?
>
> Ja, war falsch. Die hat da ja gar nichts zu suchen.
>
> > > Inwiefern muss ich denn bei
> > > [mm]\integral_{0}^{\alpha} \bruch{1}{\sqrt{x}}[/mm] noch
> etwas
> > > anders machen???
> >
> > Es ist nur die untere Grenze problematisch, die musst du
> > fest als [mm]\beta[/mm] mit [mm]0<\beta<\alpha[/mm] nehmen und nach dem
> > Integrieren und Einsetzen der Grenzen gegen 0 gehen
> > lassen.
> >
> > >
> > > Es ist ja
> > > [mm]\integral_{\beta}^{1} \bruch{1}{\sqrt{x}}[/mm] dx = 2
> > [mm]\sqrt{1}[/mm]
> > > - [mm]2\sqrt{\beta} \to[/mm] 2 für [mm]\beta \to[/mm] 0
> > >
> > > Es ist also
> > > [mm]\integral_{\beta}^{\alpha} \bruch{1}{\sqrt{x}}[/mm] dx =
> 2
> > [mm]\sqrt{\alpha}[/mm] - [mm]2\sqrt{\beta} \to 2\sqrt{\alpha}[/mm] für [mm]\beta \to[/mm]
> > 0
> >
> > Hier hast du's nun richtig zusammengewurschtelt.
> >
> > Aber wieso machst du den Zinnober davor?
>
> Also nochmal zusammengefasst (und hoffentlich nun ohne
> Denk(ver)wirrungen meinerseits):
> Es soll gezeigt werden, dass [mm]\integral_{0}^{\alpha} \bruch{1}{\sqrt{x}}[/mm]
> uneigentlich integrierbar ist.
Und zwar für festes [mm] \alpha [/mm] > 0 !!!!
> Da die Funkton f := [mm]\bruch{1}{\sqrt{x}}[/mm] auf dem offenen
> Intervall [mm]]0,\infty[[/mm] stetig ist, ist f R-integrierbar auf
> jedem Intervall [mm][\beta,\alpha][/mm] für alle [mm]\alpha,\beta \in ]0,\infty[[/mm]
> mit [mm]\beta[/mm] < [mm]\alpha.[/mm] Wählt man ein beliebiges [mm]\alpha \in ]0,\infty[,[/mm]
> so ist für alle [mm]\beta \in ]0,\infty[[/mm]
>
> [mm]\integral_{\beta}^{\alpha} \bruch{1}{\sqrt{x}}[/mm] dx = 2
> [mm]\sqrt{\alpha}[/mm] - 2 [mm]\sqrt{\beta} \to[/mm] 2 [mm]\sqrt{\alpha}[/mm] für
> [mm]\beta \to[/mm] 0
>
> Ist somit schon korrekt gezeigt, dass das Integral
> uneigentlich integrierbar ist?
Ja. Aber es lautet: die Funktion ist uneigentlich int.-bar
>
> >
> > >
> > > Aber muss ich jetzt nicht auch noch zeigen, dass der
> > > Grenzwert für [mm]\alpha \to \infty[/mm] existiert?
> >
> > Das tut er ja nicht.
>
> Ja. Ich dachte, ein Integral ist dann uneigentlich
> integrierbar, wenn die beidseitigen Grenzwerte existieren.
nein, vom Integral [mm] \integral_{0}^{\infty}{1/ \wurzel{x} dx} [/mm] war nicht die Rede
(letzteres ist übrigends divergent)
FRED
> Aber der für [mm]\alpha \to \infty[/mm] existiert ja gar nicht [
> bzw. ist 2 [mm]\sqrt{\alpha}[/mm] - 2 [mm]\sqrt{\beta}[/mm] für [mm]\alpha[/mm] ?].
>
> Gruß
> Anna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Mo 15.02.2010 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Fred,
> > Ist somit schon korrekt gezeigt, dass das Integral
> > uneigentlich integrierbar ist?
>
>
>
> Ja. Aber es lautet: die Funktion ist uneigentlich
> int.-bar
Ups, klar.
> > > >
> > > > Aber muss ich jetzt nicht auch noch zeigen, dass der
> > > > Grenzwert für [mm]\alpha \to \infty[/mm] existiert?
> > >
> > > Das tut er ja nicht.
> >
> > Ja. Ich dachte, ein Integral ist dann uneigentlich
> > integrierbar, wenn die beidseitigen Grenzwerte existieren.
>
> nein, vom Integral [mm]\integral_{0}^{\infty}{1/ \wurzel{x} dx}[/mm]
> war nicht die Rede
Das war mein "Denk"fehler! OK. Klar.
> (letzteres ist übrigends divergent)
D.h. nicht uneigentlich integrierbar?!
Danke!!
Gruß
Anna
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