uneig. Integral bestimmen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Do 24.05.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei $ [mm] b\ge [/mm] 0.$ Ziel dieser Aufgabe ist die Bestimmung des uneigentlichen Integrals
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^{ibx}}{1+x^2} \ dx}.
[/mm]
a) Für R>1 seien [mm] \gamma_0^R [/mm] die geradlinige Verbindung von -R nach R und [mm] \gamma_1^R [/mm] die obere Halbkreislinie von R nach -R. Geben Sie Parametrisierungen dieser beiden Wege an.
b) Für R>1 sei C(R) die aus [mm] \gamma_0^R [/mm] und [mm] \gamma_1^R [/mm] zusammengesetzte positiv orientierte glatte geschlossene Jordankurve. Bestimmen Sie das Integral
[mm] \integral_{C(R)}{\bruch{e^{ibz}}{1+z^2} \ dz}.
[/mm]
Tipp: Gehen Sie vor wie hier (erstes Integral)
c) Bestimmen Sie den Grenzwert
[mm] \lim_{R\to\infty}\integral_{\gamma_1^R}{\bruch{e^{ibz}}{1+z^2} \ dz}.
[/mm]
d) Berechnen Sie das in dieser Aufgabe zu bestimmende uneigentliche Integral. |
Hallo! Komme bei Teil b nicht so wirklich voran, wäre nett wenn jemand helfen könnte.
a) Für $ [mm] t\in [/mm] [0,1] $:
$ [mm] \gamma_0^R=-R+4t*R, [/mm] \ \ \ [mm] 0\le t\le \bruch{1}{2} [/mm] $
[mm] $\gamma_1^R=R*cos(2t\pi-\pi)+iR*sin(2t\pi-\pi), [/mm] \ \ \ [mm] \bruch{1}{2}\le t\le [/mm] 1 $
b) Jetzt weiss ich nicht so recht, was ich machen soll... bei der anderen Aufgabe hier war ja die Integralformel von Cauchy für Kreisscheiben zu benutzen. Wenn ich stumpf nach dem Schema vorgehe erhalte ich:
$ [mm] \integral_{C(R)}{\bruch{e^{ibz}}{1+z^2} \ dz}= \integral_{C(R)}{\bruch{\bruch{e^{ibz}}{z+i}}{z-i} \ dz}=2\pi i*\bruch{e^{-b}}{2i}=\pi*e^{-b} [/mm] $
Nun ist C(R) aber keine Kreisscheibe, daher wäre das Ganze damit hinfällig, sehe ich das richtig? Mein anderer Ansatz wäre:
$ [mm] \integral_{C(R)}{\bruch{e^{ibz}}{1+z^2} \ dz}=\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{f(\gamma_0^R(t))*\gamma^R_0'(t) \ dt}+\integral_{\bruch{1}{2}}^1{f(\gamma_1^R(t))*\gamma^R_1'(t) \ dt}$
[/mm]
Woraus sich durch einsetzen der [mm] \gamma [/mm] zwei sehr lange Integrale ergeben, die vermutlich nur unter enormem Aufwand zu lösen sind.
Kann jemand da weiter helfen? Leider ist mir das gerade etwas schleierhaft.
Vielen Dank und lieben Gruß,
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Do 24.05.2012 | | Autor: | teo |
> Sei [mm]b\ge 0.[/mm] Ziel dieser Aufgabe ist die Bestimmung des
> uneigentlichen Integrals
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^{ibx}}{1+x^2} \ dx}.[/mm]
>
> a) Für R>1 seien [mm]\gamma_0^R[/mm] die geradlinige Verbindung von
> -R nach R und [mm]\gamma_1^R[/mm] die obere Halbkreislinie von R
> nach -R. Geben Sie Parametrisierungen dieser beiden Wege
> an.
>
> b) Für R>1 sei C(R) die aus [mm]\gamma_0^R[/mm] und [mm]\gamma_1^R[/mm]
> zusammengesetzte positiv orientierte glatte geschlossene
> Jordankurve. Bestimmen Sie das Integral
>
> [mm]\integral_{C(R)}{\bruch{e^{ibz}}{1+z^2} \ dz}.[/mm]
>
> Tipp: Gehen Sie vor wie hier
> (erstes Integral)
>
> c) Bestimmen Sie den Grenzwert
>
> [mm]\lim_{R\to\infty}\integral_{\gamma_1^R}{\bruch{e^{ibz}}{1+z^2} \ dz}.[/mm]
>
> d) Berechnen Sie das in dieser Aufgabe zu bestimmende
> uneigentliche Integral.
> Hallo! Komme bei Teil b nicht so wirklich voran, wäre
> nett wenn jemand helfen könnte.
>
> a) Für [mm]t\in [0,1] [/mm]:
>
> [mm]\gamma_0^R=-R+4t*R, \ \ \ 0\le t\le \bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\gamma_1^R=R*cos(2t\pi-\pi)+iR*sin(2t\pi-\pi), \ \ \ \bruch{1}{2}\le t\le 1[/mm]
>
> b) Jetzt weiss ich nicht so recht, was ich machen soll...
> bei der anderen Aufgabe hier
> war ja die Integralformel von Cauchy für Kreisscheiben zu
> benutzen. Wenn ich stumpf nach dem Schema vorgehe erhalte
> ich:
>
> [mm]\integral_{C(R)}{\bruch{e^{ibz}}{1+z^2} \ dz}= \integral_{C(R)}{\bruch{\bruch{e^{ibz}}{z+i}}{z-i} \ dz}=2\pi i*\bruch{e^{-b}}{2i}=\pi*e^{-b}[/mm]
>
> Nun ist C(R) aber keine Kreisscheibe, daher wäre das Ganze
> damit hinfällig, sehe ich das richtig? Mein anderer Ansatz
> wäre:
>
> [mm]\integral_{C(R)}{\bruch{e^{ibz}}{1+z^2} \ dz}=\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{f(\gamma_0^R(t))*\gamma^R_0'(t) \ dt}+\integral_{\bruch{1}{2}}^1{f(\gamma_1^R(t))*\gamma^R_1'(t) \ dt}[/mm]
>
> Woraus sich durch einsetzen der [mm]\gamma[/mm] zwei sehr lange
> Integrale ergeben, die vermutlich nur unter enormem Aufwand
> zu lösen sind.
>
Hallo,
also ich würde das so machen: Seien [mm]\gamma_1: [-R,R] \to \IC[/mm] mit [mm] t \mapsto t[/mm] und [mm]\gamma_2:[0,\pi] \to Re^{it}[/mm] Dann ist [mm]\gamma = \gamma_2 \circ \gamma_1[/mm] der gesuchte Weg
Und dein Integral kannst du dann so berechnen: [mm]\integral_{\gamma}...=\integral_{\gamma_1}...+\integral_{\gamma_2}..[/mm]
Und das geht doch oder?
> Kann jemand da weiter helfen? Leider ist mir das gerade
> etwas schleierhaft.
>
> Vielen Dank und lieben Gruß,
> chesn
Ps.: Habe [mm] \gamma_1 [/mm] verändert!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:47 Do 24.05.2012 | | Autor: | teo |
> > Sei [mm]b\ge 0.[/mm] Ziel dieser Aufgabe ist die Bestimmung des
> > uneigentlichen Integrals
> >
> > [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^{ibx}}{1+x^2} \ dx}.[/mm]
>
> >
> > a) Für R>1 seien [mm]\gamma_0^R[/mm] die geradlinige Verbindung von
> > -R nach R und [mm]\gamma_1^R[/mm] die obere Halbkreislinie von R
> > nach -R. Geben Sie Parametrisierungen dieser beiden Wege
> > an.
> >
> > b) Für R>1 sei C(R) die aus [mm]\gamma_0^R[/mm] und [mm]\gamma_1^R[/mm]
> > zusammengesetzte positiv orientierte glatte geschlossene
> > Jordankurve. Bestimmen Sie das Integral
> >
> > [mm]\integral_{C(R)}{\bruch{e^{ibz}}{1+z^2} \ dz}.[/mm]
> >
> > Tipp: Gehen Sie vor wie hier
> > (erstes Integral)
> >
> > c) Bestimmen Sie den Grenzwert
> >
> >
> [mm]\lim_{R\to\infty}\integral_{\gamma_1^R}{\bruch{e^{ibz}}{1+z^2} \ dz}.[/mm]
>
> >
> > d) Berechnen Sie das in dieser Aufgabe zu bestimmende
> > uneigentliche Integral.
> > Hallo! Komme bei Teil b nicht so wirklich voran, wäre
> > nett wenn jemand helfen könnte.
> >
> > a) Für [mm]t\in [0,1] [/mm]:
> >
> > [mm]\gamma_0^R=-R+4t*R, \ \ \ 0\le t\le \bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > [mm]\gamma_1^R=R*cos(2t\pi-\pi)+iR*sin(2t\pi-\pi), \ \ \ \bruch{1}{2}\le t\le 1[/mm]
>
> >
> > b) Jetzt weiss ich nicht so recht, was ich machen soll...
> > bei der anderen Aufgabe hier
> > war ja die Integralformel von Cauchy für Kreisscheiben zu
> > benutzen. Wenn ich stumpf nach dem Schema vorgehe erhalte
> > ich:
> >
> > [mm]\integral_{C(R)}{\bruch{e^{ibz}}{1+z^2} \ dz}= \integral_{C(R)}{\bruch{\bruch{e^{ibz}}{z+i}}{z-i} \ dz}=2\pi i*\bruch{e^{-b}}{2i}=\pi*e^{-b}[/mm]
>
> >
> > Nun ist C(R) aber keine Kreisscheibe, daher wäre das Ganze
> > damit hinfällig, sehe ich das richtig? Mein anderer Ansatz
> > wäre:
> >
> > [mm]\integral_{C(R)}{\bruch{e^{ibz}}{1+z^2} \ dz}=\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{f(\gamma_0^R(t))*\gamma^R_0'(t) \ dt}+\integral_{\bruch{1}{2}}^1{f(\gamma_1^R(t))*\gamma^R_1'(t) \ dt}[/mm]
>
> >
> > Woraus sich durch einsetzen der [mm]\gamma[/mm] zwei sehr lange
> > Integrale ergeben, die vermutlich nur unter enormem Aufwand
> > zu lösen sind.
> >
>
> Hallo,
>
> also ich würde das so machen: Seien [mm]\gamma_1: [-R,R] \to \IC[/mm]
> mit [mm]t \mapsto t[/mm] und [mm]\gamma_2:[0,\pi] \to Re^{it}[/mm] Dann ist
> [mm]\gamma = \gamma_2 \circ \gamma_1[/mm] der gesuchte Weg
> Und dein Integral kannst du dann so berechnen:
> [mm]\integral_{\gamma}...=\integral_{\gamma_1}...+\integral_{\gamma_2}..[/mm]
Ich hätte eine Frage und zwar zeigt man ja bei dieser Aufgabe das das Integral längs [mm] \gamma_2 [/mm] verschwindet, indem man die Standardabschätzung für Wegintegrale benutzt und die Abschätzung für gebrochen rationale Funktionen.
In der Vorlesung haben wir folgenden gehabt:
Seien [mm] P,Q: \IC \to \IC [/mm] Polynome mit
[mm]i) \forall x \in \IR : Q(x) \neq 0 [/mm]
[mm]ii) deg(Q) \geq deg(P) + 1.[/mm]
Weiter seien [mm]t > 0[/mm] und [mm]f:\IC \to \overline{\IC}[/mm] definiert durch
[mm]f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}exp(itz)[/mm]
Dann existiert das uneigentliche Integral [mm]\integral_{\infty}^{\infty}f(x)dx[/mm] und es gilt [mm]\integral_{\infty}^{\infty}f(x)dx=2\pi i\summe_{a \in H}Res(f;a)[/mm] (H ist obere Halbebene).
Darf ich diesen Satz hier anwenden? Wir haben es bei ähnlichen Aufgaben nicht gemacht. Wann darf ich diesen Satz benutzen und wann nicht?
Vielen Dank!
>
> > Kann jemand da weiter helfen? Leider ist mir das gerade
> > etwas schleierhaft.
> >
> > Vielen Dank und lieben Gruß,
> > chesn
>
> Ps.: Habe [mm]\gamma_1[/mm] verändert!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 24.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo chesn!
Habe gerade die selbe Aufgabe zu lösen!
Suchte sie deshalb in Büchern,fand sie schließlich
im Buch "Höhere Mathematik Band" ungefähr Seite 276
von Meyberg Vachenauer
Hoffe,daß ich helfen konnte!
Grüße Martha
PS: Solltest Du das Buch nicht haben;
lass es mich wissen,denn in diesem Fall würde ich Dir die Lösung zu mailen.
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