uneigentliche Integral,Frage < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Di 17.04.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | a [mm] \in \IR [/mm] beliebig
b > 0
[mm] \int_1^\infty \frac{t^a}{1+t^b} [/mm] dt > [mm] \int_1^\infty \frac{t^{a-b}}{2} [/mm] dt
Für a-b>-1 divergiert das Integral
<=> a>-1+b
a hat also eine untere SChranke für das das Integral divergiert |
wie könnte man abschätzen, um eine obere schranke zu bekommen?
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Du hast herausbekommen, dass das Integral divergiert, wenn a > b-1 ist. Für a = b - 1 divergiert es ebenfalls, weil die Stammfunktion dann der ln ist. Das bedeutet aber, dass für alle (!) a [mm] \ge [/mm] b-1 das Integral divergiert, das heißt, wenn du a immer größer machst, divergiert es erst recht. Du kannst also gar kein großes a finden, bei dem auf einmal Konvergenz eintritt! Also gibt es keine obere Schranke für die Divergenz.
Vermutlich suchst du eine [mm] \red{untere} [/mm] Schranke dafür, dass das Integral divergiert. Wenn es für a [mm] \ge [/mm] b-1 divergiert, kann es ja trotzdem so sein, dass es für a = b-5 auch divergiert. Die Frage ist also: Konvergiert das Integral für alle a < b-1?
[mm]\int_1^\infty \frac{t^a}{1+t^b}[/mm] dt < [mm]\int_1^\infty \frac{t^a}{t^b}[/mm] dt = [mm]\int_1^\infty t^{a-b}[/mm] dt.
Für a < b-1, also a=b-1-[mm]\epsilon [/mm] [mm] (\epsilon [/mm] > 0) erhält man für die rechte Seite [mm]\int_1^\infty t^{-1-\epsilon}[/mm] dt mit der Stammfunktion
F(t) = [mm] -\bruch{1}{\epsilon}t^{-\epsilon} [/mm] und damit für den Wert des Integrals [mm] -\bruch{1}{\epsilon}, [/mm] somit Konvergenz.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:46 Di 17.04.2012 | | Autor: | sissile |
hallo, danke ;)
Ich hätte noch eine frage, bei dem selben Integral mit b <0!!
a $ [mm] \in \IR [/mm] $ beliebig
b < 0
$ [mm] \int_1^\infty \frac{t^a}{1+t^b} [/mm] $ dt < $ [mm] \int_1^\infty \frac{t^{a-b}}{2} [/mm] $ dt
-> konvergiert für a-b < -1
<=> a < -1 + b
Kann man dafür auch solch eine Abschätzung machen wie in deinen Post?
Weil da kann man ja nicht so einfach den 1 abschätzen, wenn man kleiner werden möchte .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 19.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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