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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Fuechsin |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion: f(x) = [mm] \bruch{1}{1+x^2}.
[/mm]
Bestimmen Sie mit Hilfe der Substitution x= tan(z) eine Stammfunktion von f und berechnen Sie das uneigentliche Integral [mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{f(x) dx}. [/mm] |
Hallo!
Also ich bin gerade bei dieser Aufgabe, und habe auch das Integral bestimmt, nur weiß ich nciht, wie da ein Wert rauskommen soll! vielleicht kann mir ja jemand helfen, mal schauen...
aber nun erstmal von vorne: also zunächst habe ich um die Stammfunktion zu erhalten, die angegebene Substitution verwendet:
x= tan(z)
z= arctan(x)
x' = [mm] 1+tan^2(z)
[/mm]
dx= dz * [mm] (1+tan^2(z))
[/mm]
So, dann erhalte ich:
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{\bruch{1}{1+tan^2(z)}*(1+tan^2(z))dz} [/mm]
= [mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{1dz} [/mm] = z +C
nach der Resubstitution habe ich dann
= arctan(x)+C
So, nun setze ich diese Stammfunktion in mein uneigentliches Integral ein:
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{f(x) dx}= [/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{-k}^{+k}{\bruch{1}{1+x^2}.dx} [/mm] =
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}[arctan(x)]^k_{-k}=
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}(arctan(k)-arctan(-k))
[/mm]
(bzw. [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}(arctan(k)+arctan(k))=
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}(2arctan(k)), [/mm] wenn ich das darf?)
So und nun hörts bei mri auf, an dieser Stelle habe ich keine Ahnung, wie ich da zu einer Ergebnis kommen soll. da Tangesn (bzw. Arctangens) periodisch ist, müsste ich unterteilungen vornehmen oder? wenn ich mir aber z.B. die Skizze der Funktion f ansehe, dann dürften sich die Fläche unter dem Graphen einmal von - unendlich bis 0 und dann von 0 bis + unendlich gegenseitig aufheben, also müsste bei dem Integral 0 rauskommen. aber wie kann ich das rechnerisch beweisen? wie soll ich von arctan(k) wenn k gegen unendlich geht einen Wert bestimmen? wenn ich in den Taschenrechner große Werte eingebe, dann streben die Werte gegen [mm] \pi.
[/mm]
aber wie soll ich das zeigen und vor allen dingen wie geht das, wenn man die Abbildung betrachtet? (kann ich leider nich hier einfügen, weil ich nciht weiß, wie das geht) der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse und dementsprechen würde ich denken, dass das gesuchte Integral 0 ist...
ich wäre sehr dankbar, wenn jemand einen Tipp oder irgednetwas für mich hat, ich weiß nicht, wie ich hier weiterkommen soll... oder vielleicht habe ich mich auch an einer Stelle verrechnet?
Vielen Dank fürs ansehen und für alle Antworten schonmal im Voraus!
viele Grüße, fuechsin :)
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Hallo Fuechsin!
Na gut, dass Du kein Koyote bist ... aber das wär auch kein Problem für mich  ...
> nach der Resubstitution habe ich dann
> = arctan(x)+C
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Sehr gut!
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(arctan(k)-arctan(-k))[/mm]
> (bzw. [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(arctan(k)+arctan(k))=[/mm] [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(2arctan(k)),[/mm] wenn ich das darf?)
Nein, das gilt im allgemeinen nicht!
> So und nun hörts bei mri auf, an dieser Stelle habe ich
> keine Ahnung, wie ich da zu einer Ergebnis kommen soll. da
> Tangesn (bzw. Arctangens) periodisch ist,
Der Arcustangens ist aber nicht periodisch! Dieser strebt für [mm] $x\rightarrow +\infty$ [/mm] bzw. [mm] $x\rightarrow -\infty$ [/mm] gegen feste Werte. Damit dürfte sich dann auch Dein Wert des uneigentlichen Integrales klären ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
> wenn ich mir aber z.B. die Skizze der Funktion f ansehe, dann dürften
> sich die Fläche unter dem Graphen einmal von - unendlich bis 0 und
> dann von 0 bis + unendlich gegenseitig aufheben, also müsste bei dem
> Integral 0 rauskommen.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Aber diese Fläche(n) befindet sich doch gänzlich oberhalb der x-Achse. Da gibt es also nichts zum "gegenseitig aufheben".
> wie soll ich von arctan(k) wenn k gegen unendlich
> geht einen Wert bestimmen? wenn ich in den Taschenrechner
> große Werte eingebe, dann streben die Werte gegen [mm]\pi.[/mm]
Das stimmt aber auch nicht so ganz! Da sollte jeweils (mit verschiedenen Vorzeichen) ein anderer Wert herauskommen. Oder ist das bereits das Endergebnis?
> aber wie soll ich das zeigen und vor allen dingen wie geht
> das, wenn man die Abbildung betrachtet? (kann ich leider
> nich hier einfügen, weil ich nciht weiß, wie das geht)
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") . . . Bilder einfügen
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Fuechsin |
Vielen Danke für deine Hilfe!
aber es ist schon sehr lustig, ich habe gerade noch mit einer Freundin über das Problem telefoniert und da fiels mir auch wie schuppen von den augen, dass bei der Tangens Funktion bei [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ja die Sprungstellen sind und da der Wert gegen unendlich strebt... also ist es bei der Umkehrfunktion genau andersrum und meine Taschenrechner rechnerei war richtig! :) habe nur noch kleine fragen oder anmerkungen zu deinen tollen tipps :)
>
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(arctan(k)-arctan(-k))[/mm]
>
> > (bzw. [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(arctan(k)+arctan(k))=[/mm]
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(2arctan(k)),[/mm] wenn ich das
> darf?)
>
> Nein, das gilt im allgemeinen nicht!
wieso geht das im Allgemeinen nicht? weil du hast doch eingezeichnet, wie die arcustangensfunktion aussieht, die ist punksymmetrisch zum koordinatenursprung, also gilt doch:
arctan(k) = -arctan(-k) also
-arctan(k) = arctan(-k)
und das habe ich dcoh nur eingesetzt. und wenn man mit dem taschenrechner beide Varianten ausprobiert kommt man auch auf das gleiche Ergebnis, das stimmt doch, oder?
ode rmeintest du etwas anderes, was ich nicht darf?
> > So und nun hörts bei mri auf, an dieser Stelle habe ich
> > keine Ahnung, wie ich da zu einer Ergebnis kommen soll. da
> > Tangesn (bzw. Arctangens) periodisch ist,
>
> Der Arcustangens ist aber nicht periodisch! Dieser strebt
> für [mm]x\rightarrow +\infty[/mm] bzw. [mm]x\rightarrow -\infty[/mm] gegen
> feste Werte. Damit dürfte sich dann auch Dein Wert des
> uneigentlichen Integrales klären ...
--> Wichtiger Tipp, das hab ich jetzt auch gemerkt *g*
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> die ist doch von Funkyplot, oder? :) das sieht mir doch so aus, also hätte ich das vielleicht auch gekonnt, naja, beim nächsten mal!
kennst du zufällig auch ein kostenloses Matheprogramm, womit man Integrale berechnen und darstellen kann?, das suche ich noch :)
> > wenn ich mir aber z.B. die Skizze der Funktion f ansehe,
> dann dürften
> > sich die Fläche unter dem Graphen einmal von - unendlich
> bis 0 und
> > dann von 0 bis + unendlich gegenseitig aufheben, also
> müsste bei dem
> > Integral 0 rauskommen.
>
> Aber diese Fläche(n) befindet sich doch gänzlich
> oberhalb der x-Achse. Da gibt es also nichts zum
> "gegenseitig aufheben".
ganz böser fehler meinerseite, ich war glaub ich vorhin von allen guten geistern verlassen, dass ich das gedacht habe :=) kommt hoffentlich nicht wieder vor, schön doof... *g*
> > wie soll ich von arctan(k) wenn k gegen unendlich
> > geht einen Wert bestimmen? wenn ich in den Taschenrechner
> > große Werte eingebe, dann streben die Werte gegen [mm]\pi.[/mm]
>
> Das stimmt aber auch nicht so ganz! Da sollte jeweils (mit
> verschiedenen Vorzeichen) ein anderer Wert herauskommen.
> Oder ist das bereits das Endergebnis?
nein, ich meinte das endergebnis! das stimmt aber doch, weil [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] - [mm] (-\bruch{\pi}{2}) [/mm] ist doch [mm] \pi [/mm]
>
> > aber wie soll ich das zeigen und vor allen dingen wie geht
> > das, wenn man die Abbildung betrachtet? (kann ich leider
> > nich hier einfügen, weil ich nciht weiß, wie das geht)
>
> . . .
> Bilder einfügen
Dankeschön, das gucke ich mir gleich mal an :)
vielen Dank für die schnelle Hilfe und die zusätzlichen Tipps! habe aber echt doofe fehler gemacht *g* naja, passiert, jetzt bin ich schlauer :)
viele grüße!
fuechsin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:45 Do 09.02.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Guten Morgen Fuechsin!
> > Nein, das gilt im allgemeinen nicht!
> wieso geht das im Allgemeinen nicht? weil du hast doch
> eingezeichnet, wie die arcustangensfunktion aussieht, die
> ist punksymmetrisch zum koordinatenursprung, also gilt
> doch:
> arctan(k) = -arctan(-k) also
> -arctan(k) = arctan(-k)
Damit hast du schon Recht! Ich wäre da nur etwas vorsichtig bei diesen (doppelt) uneigentlichen Integralen.
Da hätte ich zur Sicherheit auch zwei verschiedene Variablen eingesetzt. Aber hier ist es ja gut gegangen ...
> die ist doch von Funkyplot, oder? :)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> kennst du zufällig auch ein kostenloses Matheprogramm,
> womit man Integrale berechnen und darstellen kann?, das
> suche ich noch :)
Ich auch ... Nein, da kenne ich nichts ...
> nein, ich meinte das endergebnis! das stimmt aber doch,
> weil [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] - [mm](-\bruch{\pi}{2})[/mm] ist doch [mm]\pi[/mm]
So stimmt es dann!
Grüße vom
Roadrunner
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