uneigentliche Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Welche der folgenden uneigentlichen Integralen konvergieren?
i) [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{ \bruch{1}{\cosh(x)} dx}
[/mm]
ii) [mm] \integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x \wurzel[]{x²-1}} dx}
[/mm]
iii) [mm] \integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{ \wurzel[]{x²-1}} dx}
[/mm]
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hi ! :)
hab mal wieder ein paar uneigentliche integrale. also ich glaub ich habs geschafft alle 3 integrale ohne grenzen zu berechnen(hoff mal dass es stimmt...?):
i.) [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{cosh(x)} dx}= [/mm] 2 [mm] arctan(e^x)
[/mm]
um dann herauszubekommen ob es existiert muss ich doch so vorgehen:
[mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{ \bruch{1}{cosh(x)} dx} [/mm] = [mm] \integral_{-t}^{0}{ \bruch{1}{cosh(x)} dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{t}{ \bruch{1}{cosh(x)}dx} [/mm] = [2 [mm] arctan(e^x) |^0_{-t} [/mm] + [2 [mm] arctan(e^x) |^0_{t} [/mm] = 2 [mm] arctan(e^t) [/mm] - 2 arctan ( [mm] \bruch{1}{e^t})
[/mm]
jetzt müsste ich ja t gegen unendlich gehen lassen, oder?? nur hab ich absolut kein plan wie ich das machen kann....??
zur (ii) [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{x \wurzel[]{x²-1}} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{cosh(u)} du} [/mm] --> siehe (i)
zur (iii) [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{ \wurzel[]{x²-1}} dx} [/mm] =arcosh(x) (+c)
[mm] \integral_{1}^{t}{ \bruch{1}{ \wurzel[]{x²-1}} dx} [/mm] = [mm] [arcosh(x)|^t_1 [/mm] = arcosh(t) - arcosh (1) = arcosh(t)
und geht das für t gegen unendlich gegen unendlich?? das würde bedeuten dieses integral konvergiert also nicht???
vieelen dank für eure hilfe!!
gruß riley :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Loddar!!!
ganz vielen dank für deine hinweise und korrektur!! :)
bei der (i) hab ich nun berechnet:
[mm] \limes_{t\rightarrow\infty}{2 arctan(e^t) - 2 arctan(e^{-t}) } [/mm] = 2 [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] - 2 * 0 = [mm] \pi
[/mm]
(da [mm] e^t [/mm] -> [mm] \infty [/mm] und [mm] e^{-t} [/mm] -> 0 für t -> [mm] \infty)
[/mm]
d.h. dieses Integral konvergiert. richtig?
zur (ii) oh, da häng ich noch ein bissle. bin so weit:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x* \wurzel{x²-1}} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{cosh(u)} du} [/mm] (hab substituiert x=cosh(u) )
= 2 arctan(y) + c (subst.: [mm] e^u=y)
[/mm]
= (Resubst.) 2 [mm] arctan(e^u)+c [/mm] = 2 [mm] arctan(e^{arcosh(x)})
[/mm]
d.h. [mm] \integral_{1}^{t}{\bruch{1}{x* \wurzel{x²-1}} dx} [/mm] =
[2arctan [mm] (e^{arcosh(x)}) |^t_1 [/mm] = 2 [mm] arctan(e^{arcosh(t)}) [/mm] - 2 [mm] arctan(e^{arcosh(1)}) [/mm] = 2 [mm] arctan(e^{arcosh(t)})- [/mm] 2 arctan(1), da arcosh(1) = 0 und [mm] e^0=1.
[/mm]
stimmt das soweit?
jetzt hab ich nur wieder troubles mit t-> [mm] \infty. [/mm]
Der Graph von y=arcosh(x) liegt doch so um die x-Achse. Warum geht das eigentlich, weil ich bekomm doch dann zu jedem x wert 2 y-werte..., widerspricht das nicht der eindeutigen zuordnung?? oder ist das so wie mit der wurzel-funktion?
hm, aber [mm] e^{arcosh(t)} [/mm] -> [mm] \infty [/mm] für t-> [mm] \infty
[/mm]
und damit arctan( [mm] e^{arcosh(t)}) [/mm] -> [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm]
d.h. [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} [/mm] {2 arctan( [mm] e^{arcosh(t)})} [/mm] - 2 arctan(1) = [mm] \pi [/mm] - 2 arctan(1) ?
oder kann ich das ergebnis noch vereinfachen?
wenn das soweit stimmt, würde das Integral konvergieren, oder?
gut, (iii) war ja okay.
vielen vielen dank nochmal!!!
gruß Riley :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Riley!
> bei der (i) hab ich nun berechnet:
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}{2 arctan(e^t) - 2 arctan(e^{-t}) }[/mm] = 2 [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] - 2 * 0 = [mm]\pi[/mm]
> (da [mm]e^t[/mm] -> [mm]\infty[/mm] und [mm]e^{-t}[/mm] -> 0 für t -> [mm]\infty)[/mm]
>
> d.h. dieses Integral konvergiert. richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> zur (ii) oh, da häng ich noch ein bissle. bin so weit:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x* \wurzel{x²-1}} dx}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{cosh(u)} du}[/mm] (hab substituiert x=cosh(u) )
Dieser Ansatz führt m.E. nicht zum Ziel.
Substituiere hier: $x \ := \ [mm] \bruch{1}{\sin(u)}$ $\gdw$ [/mm] $u \ = \ [mm] \\arcsin\left(\bruch{1}{x}\right)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Riley |
hi loddar!!
danke für die tipps! warum komm ich eigentlich mit der andren subst. nicht zum ziel??
hab das mal so versucht, wie du gemeint hast, aber irgendwie komm ich da auch nicht so weit:
Subst: x = [mm] \bruch{1}{sin(u)}
[/mm]
... = - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{cos(u)}{sin(u) \wurzel{\bruch{1}{(sin(u))² - 1}}du}}
[/mm]
stimmt das überhaupt? und wie komm ich dann weiter??
viele grüße und vielen dank
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 So 30.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Riley!
> warum komm ich eigentlich mit der andren subst. nicht zum ziel??
Handelt es sich denn dann bei dem Ergebnis auch wirklich um eine Stammfunktion? Hast Du diese mal mabgeleitet und die ausgangsfunktion erhalten?
> ... = - [mm]\integral_{}^{}{\bruch{cos(u)}{sin(u) \wurzel{\bruch{1}{(sin(u))² - 1}}du}}[/mm]
Das scheint mir nicht ganz zu stimmen ...
$x \ := \ [mm] \bruch{1}{\sin(u)} [/mm] \ = \ [mm] \left[\sin(u)\right]^{-1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x' \ = \ [mm] \bruch{dx}{du} [/mm] \ = \ [mm] -\left[\sin(u)\right]^{-1}*\cos(u) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{\cos(u)}{\sin^2(u)}$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] -\bruch{\cos(u)}{\sin^2(u)} [/mm] * du$
[mm] $\Rightarrow$ $\integral{\bruch{1}{\blue{x}*\wurzel{\blue{x}^2-1}} \ \red{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{1}{\blue{\bruch{1}{\sin(u)}}*\wurzel{\left[\blue{\bruch{1}{\sin(u)} }\right]^2-1}} *\left[\red{-\bruch{\cos(u)}{\sin^2(u)} * du}\right]} [/mm] \ = \ [mm] -\integral{\bruch{\cos(u)}{\sin(u)*\wurzel{\bruch{1}{\sin^2(u)}-1}} \ du} [/mm] \ = \ ...$
Nun in der Wurzel zusammenfassen (auf einen Bruchstrich schreiben) und anschließend ersetzen:
[mm] $\sin^2(u)+\cos^2(u) [/mm] \ = \ 1$ [mm] $\gdw$ $1-\sin^2(u) [/mm] \ = \ [mm] \cos^2(u)$
[/mm]
Dann noch weiter zusammenfassen und kürzen, bis nur noch [mm] $-\integral{\blue{1} \ du}$ [/mm] verbleibt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 So 30.04.2006 | | Autor: | Riley |
ahh, wie cool, vielen dank dass du das so schön farbig eingegeben hast!! :)
das kürzt sich ja wunderbar weg mit dem trick!
dann bekomm ich raus: - u + c = - arcsin ( [mm] \bruch{1}{x} [/mm] )
d.h. [mm] \integral_{1}^{t}{ \bruch{1}{x \wurzel{x^2-1}} dx} [/mm] = [-arcsin ( [mm] \bruch{1}{x}) |^t_1 [/mm] = [mm] -arcsin(\bruch{1}{t}) [/mm] + arcsin(1)
= [mm] -arcsin(\bruch{1}{t}) [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] -> 0 + [mm] \bruch{\pi}{2} =\bruch{\pi}{2} [/mm] für t-> [mm] \infty
[/mm]
und integral konvergiert, stimmt das so???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Riley!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Riley |
oh cool! tausend dank dir! :)
gruß riley
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
