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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass [mm] \integral^{\infty}_0\bruch{sinx}{x}dx [/mm] existiert.
b) i) Zeigen Sie für [mm] s\in\IR, [/mm] dass das uneigentliche Integral [mm] f(s):=\integral^{\infty}_{0}t^{s-1}e^{-t}dt [/mm] genau dann existiert, wenn s>0
ii) beweisen Sie, dass dann f(s+1)=s*f(s)
iii) Folgern Sie daraus, dass f(n)=n! für [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] 1\le [/mm] n. |
Moin!
Und mal wieder haperts bei mir...
a) könnte ich ja fast schon einfach abhaken, wenn ich nicht zwei Grenzwerte betrachten müsste und wenn uns das Reihenkriterium "bekannt" wäre. Steht aber bei meinem Professor nicht im skript :(
So habe ich (trotzdem) erst einmal drauflos gerechnet mit [mm] \integral^h_j\bruch{sinx}{x}=[-\bruch{cosx}{x}]^h_j-\integral^h_j\bruch{cosx}{x^2}.
[/mm]
Ich weiß aber, dass die Reihe [mm] \summe_{0}^{\infty}\bruch{cosx}{x^2} [/mm] konvergiert (majorante: [mm] \bruch{1}{x^2}) [/mm] und denke (hoffe?) dass [mm] \bruch{cosx}{x} [/mm] nichts dergleichen tut [wie zeig ich das am besten?]
kann ich dann also einfach sagen, dass [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\limes_{j\rightarrow0}\integral^h_0\bruch{sinx}{x} [/mm] existiert? Und hat irgendjemand eine Idee, wie das OHNE die Konvergenz der Reihe auszunutzen zu lösen wäre?
b)... ich habe keine Ahnung, wie ich das machen soll. Hab mir das mal ein paar mal partiell integriert angeschaut, aber das macht wenig sinn (vor allem, weil das [mm] t^{s-1}nicht [/mm] einfach netterweise "verschwindet", da ja [mm] s\in\IR [/mm] und nicht aus [mm] \IN...). [/mm] Der einzige Teil, den z.Zt bewältigen kann ist iii), wenn ich denn ii) zur Hilfe nehme.
Könnte mir jemand zum Rest vielleicht einen Hinweis geben? Wäre nett, Gruß
San
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mo 01.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Deine Zerlegung bereitet Probleme bei [mm] $j\to [/mm] 0$. Versuch's lieber leicht modifiziert mit
[mm] $$\int\limits_j^h [/mm] ~ [mm] \frac{\sin(x)}{x} [/mm] ~ [mm] \mathrm{d}x [/mm] = [mm] \left[ \frac{1-\cos(x)}{x} \right]_{x=j}^h [/mm] ~ + ~ [mm] \int\limits_j^h [/mm] ~ [mm] \frac{1-\cos(x)}{x^2} [/mm] ~ [mm] \mathrm{d}x$$
[/mm]
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Hallo San,
ist dir bewusst, dass es sich bei diesem integral um die gamma-funktion handelt? Jedenfalls findest du zu dieser funktion tonnenweise abhandlungen im internet, bei denen sich dann auch deine fragen klären sollten....
VG
Matthias
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Vielen Dank für die Antworten, glaube ich bin jetzt ein ganzes Stück weiter.
zu a)... sehe das Problem nicht, habe doch bei den Grenzen die Null nicht eingesetzt, oder? Wo war dann das Problem?
zu b)
i) Kann ich nicht auch hier - vorausgesetzt ich setzte mich darüber hinweg, dass ichs eigentlich nicht benutzen darf - das REihenkriterium anwenden und [mm] \summe^{\infty}_{t=0}\bruch{t^{s-1}}{e^t} [/mm] betrachten? Es ist doch wohl offensichtlich, dass das konvergiert, solange s>0 oder?
ii) ist dann geschenkt, weil - mit partieller ableitung (war wohl doch nicht so sinnlos, was ich da gemacht hatte) gilt: [mm] \integral^{\infty}_{0}e^{-t}t^{s-1}dt= [\bruch{t^s}{s*e^t}]^{\infty}_{0}-\integral^{\infty}_{0}-e^{-t}\bruch{1}{s}t^{s} [/mm]
Konstanten rausgezogen, umgeformt und ich habe das gewünschte da stehen...
iii) hier habe ich irgendwo einen riesigen denkfehler oder die Aufgabenstellung ist falsch!!! muss es nicht lauten: f(n)=(n-1)! ??? dann ist das ganze mit Induktion auch zu beweisen. sonst nicht...
Gruß
San
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Do 04.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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