uneigentliches Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx} [/mm] |
Hallo!
Laut Buch ist die korrekte Lösung der Aufgabe: [mm] \infty.
[/mm]
Allerdings komme ich auf:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{\infty}{x^{-\bruch{1}{2}} dx}
[/mm]
Ein Integral von [mm] x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] ist [mm] -2x^{\bruch{1}{2}}, [/mm] also
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx} [/mm] = [mm] \limes_{f\rightarrow\infty} -2\wurzel{f} [/mm] - [mm] (-2\wurzel{1}) [/mm] = [mm] -\infty.
[/mm]
Wo liegt der Fehler?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:07 Do 03.01.2019 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Laut Buch ist die korrekte Lösung der Aufgabe: [mm]\infty.[/mm]
> Allerdings komme ich auf:
>
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{x^{-\bruch{1}{2}} dx}[/mm]
>
> Ein Integral von [mm]x^{-\bruch{1}{2}}[/mm] ist [mm]-2x^{\bruch{1}{2}},[/mm]
Nein. Eine Stammfunktion ist [mm] 2x^{\bruch{1}{2}}, [/mm] also ohne Minuszeichen.
> also
>
>
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}} dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{f\rightarrow\infty} -2\wurzel{f}[/mm] - [mm](-2\wurzel{1})[/mm]
> = [mm]-\infty.[/mm]
>
> Wo liegt der Fehler?
Siehe oben.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] |
Ok, das war geschusselt.
Noch kurz eine Frage zu einer ähnlichen Aufgabe.
Die vorgegeben Lösung ist [mm] -\infty.
[/mm]
Ich komme hier auf:
[mm] \integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] = [mm] \limes_{f\rightarrow0} \integral_{-1}^{f}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] = [mm] \limes_{f\rightarrow0} [/mm] ln(f) - ln(-1) = - [mm] \infty [/mm] - ln(-1)
Wenn jetzt ln(-1) nicht definiert ist, kann man dann einfach schulterzuckend sagen, das Ergebnis ist [mm] -\infty [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 So 06.01.2019 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sancho1980!
> Ich komme hier auf:
>
> [mm]\integral_{-1}^{0}{\bruch{1}{x} dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{f\rightarrow0} \integral_{-1}^{f}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
Genau, es handelt sich um ein uneigentliches Integral.
> = [mm]\limes_{f\rightarrow0}[/mm] ln(f) - ln(-1)
Wie du selbst feststellst, sind ln(f) für f<0 und ln(-1) überhaupt nicht definiert.
Diese Zeile ist also schon sinnlos.
Eine Stammfunktion der Abbildung [mm] $\IR\setminus\{0\}\to\IR,\;x\mapsto\frac{1}{x}$ [/mm] ist gegeben durch [mm] $\IR\setminus\{0\}\to\IR,\;x\mapsto [/mm] ln(|x|)$.
Damit solltest du das Integral bestimmen können.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
