uneigentliches Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 So 01.08.2004 | | Autor: | Denis |
hallo zusammen. schreib am dienstag ne klausur und habe keine ahnung wie ich folgendes integral lösen kann:
[mm] \integral_{0}^{ \infty} {\bruch{x}{(1+x^2)^2} dx}
[/mm]
hoffe es kann mir jemand helfen.
PS: was setzt man denn bei uneigentlichen Integralen für das [mm] \infty [/mm] bzw [mm] -\infty [/mm] ein?
danke und gruß
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Hallo Denis,
> schreib am dienstag ne klausur und habe
> keine ahnung wie ich folgendes integral lösen kann:
>
> [mm]\integral_{0}^{ \infty} {\bruch{x}{(1+x^2)^2} dx}
[/mm]
>
> hoffe es kann mir jemand helfen.
Ich würde vorschlagen, erstmal ohne Grenzen zu integrieren, um eine Stammfunktion zu bestimmen.
> PS: was setzt man denn bei uneigentlichen Integralen für
> das [mm]\infty[/mm] bzw [mm]-\infty[/mm] ein?
In die gefundene Stammfunktion setzt du dann unendlich als Grenzwert ein.
Um die Stammfunktion zu finden, kannst du ja mal Funktionen der Art [mm] $(x^2+1)^n$ [/mm] ableiten (für ganze Zahlen n), damit kannst du sicherlich eine Stammfunktion deiner Funktion bestimmen.
Gruss,
SirJective
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:29 Mo 02.08.2004 | | Autor: | Denis |
das scheint mir ja recht kompliziert zu sein. da für diese aufgabe nicht sonderlich viel zeit veranschlagt war, kann man da denn nichts durch bloses hinsehen zur lösung sagen? da muß es doch irgendeinen trick geben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Mo 02.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Denise.
Der Trick ist hier die Substitution.
Du substituierst [mm]u=1+x^2 \Rightarrow dx=\frac{du}{2x}[/mm]
Das führt zu dem Integral
[mm]\frac{1}{2}\cdot\integral_{1}^{\infty}{\frac{1}{u^2}\cdot du}[/mm]
Dieses Integral kannst du nach der Potenzregel lösen, da ja [mm]\frac{1}{u^2}=u^{-2}[/mm].
Daraus ergibt sich dann [mm]\frac{1}{2}\cdot\integral_{1}^{\infty}{\frac{1}{u^2}\cdot du}=\frac{1}{2}\cdot[-\frac{1}{u}]_1^{\infty}[/mm]
Um dies jetzt zu lösen setzt du eine neue Variable, nennen wir die [mm]z[/mm] ein und erstetzt die unendliche Integrationsgrenze mit ihr:
[mm]\limes_{z\to \infty}\frac{1}{2}\cdot[-\frac{1}{u}]_1^z=\frac{1}{2}[/mm]
Daraus sieht man nun leicht, dass
[mm]\integral_{0}^{\infty}{\frac{x}{(1+x^2)^2}\cdot dx}=\frac{1}{2}[/mm]
entspricht.
Ich kann mir beim besten Willen nicht vorstellen wie das leichter gehen soll.
Ist der Weg denn klar?
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Mo 02.08.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Denis und Hanno!
Was Hanno schreibt, ist der richtige Weg, es sind nur zwei (Flüchtigkeits-)Fehler dabei.
1. Das erste Integral in Hannos Artikel lautet:
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{1}^{ \infty} \bruch{1}{u^{2}} \bruch{du}{2x}
[/mm]
Es müsste aber so lauten(x kürzt sich ja raus)
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{1}^{ \infty}\bruch{1}{u^{2}}du
[/mm]
2. Hanno schreibt:
[mm] \limes_{z\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}*[-\bruch{1}{u}] [/mm] (1 bis z) = [mm] -\bruch{1}{2}\bruch{1}{z} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Das z darf aber rechts gar nicht mehr stehen:
[mm] \limes_{z\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}*[-\bruch{1}{u}] [/mm] (1 bis z) = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Gruß clemens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Mo 02.08.2004 | | Autor: | Hanno |
hi Clemens.
Danke, das waren wirklich 2 Flüchtigkeitsfehler, sowas passiert leider :-(
Danke für den Hinweis!
Gruß,
Hanno
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