uneigentliches Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Im Kapitel über uneigentliche Integrale steht folgende Aufgabe:
Man untersuche das Konvergenzverhalten der Reihe
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k\ln{k}}
[/mm]
Nun konvergiert diese Reihe nach einem Satz genau dann, wenn das Integral [mm] \integral_2^{\infty}\bruch{1}{k\ln{k}}\;dk [/mm] existiert. Es gilt:
[mm] \integral_2^{\infty}\bruch{1}{k\ln{k}}\;dk [/mm] = [mm] \lim_{R\to\infty}\integral_2^R\bruch{1}{k\ln{k}}\;dk [/mm] = [mm] \lim_{R\to\infty}\integral_{\ln{2}}^{\ln{R}}\bruch{1}{x}\;dx [/mm] (ich hoffe, ich habe mich hier nicht vertan, das sollte die Substitutionsregel sein) = [mm] \lim_{R\to\infty}\ln|x||_{\ln{2}}^{\ln{R}} [/mm] = [mm] \infty? [/mm] Oder was ist [mm] \ln{|\infty|}? [/mm] Oder wie berechnet man das hier...
Vielleicht habe ich ja auch irgendwo einen Fehler in meinen Überlegungen. Wäre schön, wenn das jemand herausfinden könnte.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Das sieht alles sehr gut aus! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> (ich hoffe, ich habe mich hier nicht vertan, das sollte die
> Substitutionsregel sein) =
> [mm]\lim_{R\to\infty}\ln|x||_{\ln{2}}^{\ln{R}}[/mm] = [mm]\infty?[/mm]
Ja, klar. Es gilt:
[mm] $\lim\limits_{R \to \infty} \ln|x|_{\ln{2}}^{\ln{R}} [/mm] = [mm] \lim\limits_{R \to \infty}[ \ln|\ln(R)| [/mm] - [mm] \ln|\ln(2)| [/mm] ] = + [mm] \infty$.
[/mm]
Damit existiert das uneigentliche Integral nicht in [mm] $\IR$, [/mm] und die Reihe divergiert.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Bastiane!
> Und da [mm]\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k}[/mm] divergiert, divergiert auch meine Reihe. Oder?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Man könnte hier übrigens den Beweis der Divergenz noch schneller und schöner über das Cauchysche Verdichtungskriterium und die bekannte Divergenz der harmonischen Reihe führen.
Liebe Grüße
Stefan
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![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
Danke für die schnelle Überprüfung - es gibt mir gleich etwas Lust, weiterzulernen. Wo ich diese Aufgabe ja quasi gaaanz alleine hinbekommen habe. 
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Cauchyschen Verdichtungskriterium