uneigentliches integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:37 Do 20.09.2007 | | Autor: | Debby |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir behandeln im Unterricht gerade uneigentliche Integrale. Nun haben wir als Hausaufgabe bekommen welche Funktionstypen eine endliche Lösung für ein uneigentliches Integral liefern.
Ich hoffe, ich habe mich verständlich ausgedrückt. Es ist halt keine spezielle Aufgabe, wir sollen es uns nur überlegen.
Die Lösung ist mir eigentlich schon klar, alle Funktionen deren Stammfunktion die x-Achse als Asymtote haben.
Nur welche sind denn das jetzt alle?? Mir ist nur die Funktion [mm] \bruch{a}{bx^n} [/mm] eingefallen.
Alles andere hat meiner Meinung nach eine andere Asymtote oder keine. Oder irre ich mich da??
Vielen Dank schon einmal im Vorraus.
LG aus den Tropen
Debby
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> Hallo!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Wir behandeln im Unterricht gerade uneigentliche Integrale.
> Nun haben wir als Hausaufgabe bekommen welche
> Funktionstypen eine endliche Lösung für ein uneigentliches
> Integral liefern.
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> Ich hoffe, ich habe mich verständlich ausgedrückt. Es ist
> halt keine spezielle Aufgabe, wir sollen es uns nur
> überlegen.
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> Die Lösung ist mir eigentlich schon klar, alle Funktionen
> deren Stammfunktion die x-Achse als Asymtote haben.
Dies ist leider nicht richtig. Dass [mm] $f(x)\rightarrow [/mm] 0$ für [mm] $x\rightarrow +\infty$ [/mm] ist nur notwendig, aber nicht hinreichend für die Existenz des uneigentlichen Integrals [mm] $\int_{x_0}^\infty f(x)\; [/mm] dx$.
Gegenbeispiel: Die Funktion $f(x) := 1/x$ hat die Stammfunktion $F(x) = [mm] \ln(x)$ [/mm] und daher ist
[mm]\int_1^{+\infty} \frac{1}{x}\;\dx = \Big[\ln(x)\Big]_{x=1}^\infty = \lim_{x\rightarrow +\infty}\ln(x)=+\infty[/mm]
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> Nur welche sind denn das jetzt alle?? Mir ist nur die
> Funktion [mm]\bruch{a}{bx^n}[/mm] eingefallen.
Es ist klar, dass, falls [mm] $\int_{x_0}^{+\infty} f(x)\; [/mm] dx$ existiert (endlich ist), dann existiert auch [mm] $\int_{x_0}^{+\infty} k\cdot f(x)\; [/mm] dx$, für beliebiges [mm] $k\in \IR$. [/mm] Daher würde ich dieses Detail mit $a,b$ in Zähler bzw. Nenner weglassen. Die wichtigere Frage ist, für welche Exponenten [mm] $r\in \IR$ [/mm] das uneigentliche Integral [mm] $\int_1^\infty \frac{1}{x^r}\; [/mm] dx$ existiert (endlich ist). Antwort: für $r>1$.
> Alles andere hat meiner Meinung nach eine andere Asymtote
> oder keine. Oder irre ich mich da??
Aber sicher irrst Du Dich da. Betrachte etwa die Funktionen [mm] $f(x)=\frac{x^2-4}{x^5-7x^2+2x+1}$, $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$ [/mm] oder [mm] $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$. [/mm] Alle diese Funktionen haben die $x$-Achse als Asymptote (für [mm] $x\rightarrow +\infty$), [/mm] aber keine von diesen Funktionen ist von der von Dir angenommenen Form [mm] $\frac{a}{bx^n}$.
[/mm]
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