uneigentliches integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Di 22.01.2008 | | Autor: | Luke1986 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{oo}\bruch{sinh(\wurzel{x})}{(e^{(\wurzel{x})}-1)^2}dx [/mm] |
hallo zusammen!
Ich soll dieses integral untersuchen auf konvergenz bzw divergenz!
Die kritischen stellen sind ja x=oo und x=0 also spalte ich das integral in zwei Teilintegrale auf:
I1 : [mm] \integral_{0}^{1}\bruch{sinh(\wurzel{x})}{(e^{(\wurzel{x})}-1)^2}dx [/mm] mit 0<x<1
I2 : [mm] \integral_{1}^{oo}\bruch{sinh(\wurzel{x})}{(e^{(\wurzel{x})}-1)^2}dx [/mm] mit 1<x<oo
wenn ich nun die integrale einzelnd auf konvergenz bzw. divergenz untersuche muss ich ja vorher eine vermutung angeben um dann mino- bzw majoranzenkriterium anzuwenden!
hier weiß ich nicht mehr weiter! ich hoffe ihr könnt mir helfen das integral zu bestimmen!
beste grüße LUkas
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> [mm]\integral_{0}^{oo}\bruch{sinh(\wurzel{x})}{(e^{(\wurzel{x})}-1)^2}dx[/mm]
> hallo zusammen!
> Ich soll dieses integral untersuchen auf konvergenz bzw
> divergenz!
> Die kritischen stellen sind ja x=oo und x=0 also spalte
> ich das integral in zwei Teilintegrale auf:
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> I1 :
> [mm]\integral_{0}^{1}\bruch{sinh(\wurzel{x})}{(e^{(\wurzel{x})}-1)^2}dx[/mm]
> mit 0<x<1
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> I2 :
> [mm]\integral_{1}^{oo}\bruch{sinh(\wurzel{x})}{(e^{(\wurzel{x})}-1)^2}dx[/mm]
> mit 1<x<oo
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> wenn ich nun die integrale einzelnd auf konvergenz bzw.
> divergenz untersuche muss ich ja vorher eine vermutung
> angeben um dann mino- bzw majoranzenkriterium anzuwenden!
Nun musst Du eine gute Minorante- bzw. Majorante für den Integranden finden. Zu diesem Zweck würde ich [mm] $\sinh(\sqrt{x})$ [/mm] sicher mal als erstes durch [mm] $\frac{e^{\sqrt{x}}-e^{-\sqrt{x}}}{2}$ [/mm] ersetzen. Für den Grenzübergang [mm] $x\rightarrow +\infty$ [/mm] müsste sich der Integrand also verhalten wie:
[mm]\frac{\sinh(\sqrt{x})}{(e^{\sqrt{x}}-1)^2} = \frac{e^{\sqrt{x}}-e^{-\sqrt{x}}}{2(e^{\sqrt{x}}-1)^2}
= \frac{e^{\sqrt{x}}(1-e^{-2\sqrt{x}})}{2e^{2\sqrt{x}}(1-e^{-\sqrt{x}})^2}=\blue{\frac{1-e^{-2\sqrt{x}}}{(1-e^{-\sqrt{x}})^2}}\cdot \frac{1}{2e^{\sqrt{x}}}[/mm]
Der blau markierte Faktor wird, bei geeigneter Wahl von [mm] $x_0$, [/mm] für alle [mm] $x\geq x_0$, [/mm] um weniger als ein beliebig klein vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] von $1$ abweichen, so dass man mit [mm] $(1-\varepsilon)\frac{1}{2e^{\sqrt{x}}}$ [/mm] eine Minorante- und mit [mm] $(1+\varepsilon)\frac{1}{2e^{\sqrt{x}}}$ [/mm] eine Majorante für den Integranden beim Übergang [mm] $x\rightarrow \infty$ [/mm] erhält.
Das fragliche Integral [mm] $\int_1^\infty$ [/mm] existiert also für den ursprünglichen Integranden genau dann, wenn es für den Integranden [mm] $\frac{1}{e^{\sqrt{x}}}$ [/mm] existiert.
Für den anderen Grenzübergang, [mm] $x\rightarrow [/mm] 0+$, wird sich wohl auf analoge Weise eine Minorante bzw. eine Majorante (bzw. ein sich wie im Fall [mm] $x\rightarrow \infty$ [/mm] bei diesem Grenzübergang asymptotisch gleich verhaltender Integrand) finden lassen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Di 22.01.2008 | | Autor: | Luke1986 |
ich habe grade mal gerechnet! für das zweite Teilintegral
[mm] \integral_{1}^{oo}\bruch{sinh(\wurzel{x})}{(e^{(\wurzel{x})}-1)^2}dx [/mm] dann umgeformt zu [mm] {\frac{1-e^{-2\sqrt{x}}}{(1-e^{-\sqrt{x}})^2}}\cdot \frac{1}{2e^{\sqrt{x}}} [/mm] bekomme ich heraus dass die vermeindlich kritische stelle x=oo keine ist und daraus dann konvergenz folgt!? kann das sein?
gruß
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> ich habe grade mal gerechnet! für das zweite Teilintegral
> [mm]\integral_{1}^{oo}\bruch{sinh(\wurzel{x})}{(e^{(\wurzel{x})}-1)^2}dx[/mm]
> dann umgeformt zu
> [mm]{\frac{1-e^{-2\sqrt{x}}}{(1-e^{-\sqrt{x}})^2}}\cdot \frac{1}{2e^{\sqrt{x}}}[/mm]
> bekomme ich heraus dass die vermeindlich kritische stelle
> x=oo keine ist und daraus dann konvergenz folgt!? kann das
> sein?
Falls meine Umformung des Integranden sowie das zugehörige Argument von wegen asymptotisch gleich sein zu [mm] $\frac{1}{2e^{\sqrt{x}}}$ [/mm] richtig ist schon. Denn aus der Potenzreihenentwicklung von [mm] $e^{\sqrt{x}}$ [/mm] folgt doch, dass [mm] $0\leq \frac{1}{2e^{\sqrt{x}}}\leq \frac{1}{2\cdot (x^2/4)}$ [/mm] (für $x>0$). Wegen [mm] $\int_1^\infty\frac{1}{x^2}\; dx<\infty$ [/mm] müsste also auch Dein ursprüngliches Integral [mm] $\int_1^\infty\ldots$ [/mm] konvergieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Di 22.01.2008 | | Autor: | Luke1986 |
Ok! also ich hab das jetzt so versucht:
[mm] I1=\integral_{1}^{\infty} {\frac{1-e^{-2\sqrt{x}}}{(1-e^{-\sqrt{x}})^2}}\cdot \frac{1}{2e^{\sqrt{x}}}dx
[/mm]
kritische Stelle [mm] x=\infty
[/mm]
Also Betrachte: [mm] \limes_{x \to \infty} \bruch{1-\bruch{1}{e^{2\wurzel{x}}}}{(1-\bruch{1}{e^\wurzel{x}}})^2*2e^\wurzel{x} [/mm] = [mm] \bruch{1-0}{(1-0)^2*0} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] x= [mm] \infty [/mm] ist keine kritische STelle
[mm] \Rightarrow [/mm] das Integral I1 = [mm] \integral_{1}^{\infty}\frac{\sinh(\sqrt{x})}{(e^{\sqrt{x}}-1)^2}dx [/mm] konvergiert
Betrachte I2 = [mm] \integral_{0}^{1}\frac{\sinh(\sqrt{x})}{(e^{\sqrt{x}}-1)^2}dx [/mm]
kritische Stelle x=0
Betrachte: [mm] \limes_{x \to 0} {\frac{1-e^{-2\sqrt{x}}}{(1-e^{-\sqrt{x}})^2}}\cdot \frac{1}{2e^{\sqrt{x}}} [/mm] = [mm] \bruch{"0"}{0} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] L´Hop: [mm] \limes_{x \to 0} \bruch{\bruch{1}{e^{2\wurzel{x}}}}{2(1-e^{-\wurzel{x}})+(1-e^{-\wurzel{x}})*e^{\wurzel{x}}}dx [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^{2\wurzel{x}}*[2*(1-e^{-\wurzel{x}})+(1-e^{-\wurzel{x}})*e^{\wurzel{x}}]}dx
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Vermutung I2 ist divergent?
ist das soweite richtig?
Habe nun versucht mit dem Minorantenkriterium abzuschätzen, allerdungs bin ich nicht weitergekommen?!
Also wende Min.krit an:
[mm] \left| f(x) \right| [/mm] = [mm] \bruch{sinh{\wurzel{x}}}{(e^{-\wurzel{x}}-1)^2} [/mm] mit 0<x<1
[mm] \le \bruch{\wurzel{x}}{(e^{\wurzel{x}}-1)^2} [/mm]
und nu weiß ich ncih weiter ich könnte [mm] e^{\wurzel{x}} [/mm] gegen [mm] e^1 [/mm] abschätzen aber ich habe immernoch keine form... vllt hab ich mich ja auch ganz am anfang vertan und müsste eigentlich das Konv.krit anwenden
bitte um Hilfestellung.
Vielen dAnk
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> Ok! also ich hab das jetzt so versucht:
> [mm]I1=\integral_{1}^{\infty} {\frac{1-e^{-2\sqrt{x}}}{(1-e^{-\sqrt{x}})^2}}\cdot \frac{1}{2e^{\sqrt{x}}}dx[/mm]
>
> kritische Stelle [mm]x=\infty[/mm]
> Also Betrachte: [mm]\limes_{x \to \infty} \bruch{1-\bruch{1}{e^{2\wurzel{x}}}}{(1-\bruch{1}{e^\wurzel{x}}})^2*2e^\wurzel{x}[/mm]
> = [mm]\bruch{1-0}{(1-0)^2*0}[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] x= [mm]\infty[/mm] ist keine kritische STelle
Das verstehe ich nun nicht. Denn bloss daraus, dass der Integrand für [mm] $x\rightarrow \infty$ [/mm] gegen $0$ geht, kannst Du ja nicht schliessen, dass das Integral mit uneigentlicher oberer Grenze existiert: der Integrand muss zusätzlich auch schnell genug gegen $0$ gehen. So konvergiert ja z.B. das Integral [mm] $\int_1^\infty \frac{1}{x}\; [/mm] dx$ nicht, weil sein Wert bis zur oberen Grenze $b$ gleich [mm] $\ln(b)$ [/mm] ist und somit für [mm] $b\rightarrow \infty$ [/mm] gegen [mm] $+\infty$ [/mm] geht.
Hingegen konvergiert das Integral [mm] $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\;dx$ [/mm] und ich glaube gezeigt zu haben, dass Dein Integrand, bis auf eine harmlose multiplikative Konstante, von diesem Integranden [mm] $\frac{1}{x^2}$ [/mm] majorisiert wird.
> [mm]\Rightarrow[/mm] das Integral I1 =
> [mm]\integral_{1}^{\infty}\frac{\sinh(\sqrt{x})}{(e^{\sqrt{x}}-1)^2}dx[/mm]
> konvergiert
Stimmt (glaube ich), aber nicht bloss deswegen, weil der Integrand für [mm] $x\rightarrow \infty$ [/mm] gegen $0$ geht, sondern weil er jedenfalls nicht langsamer gegen $0$ geht als [mm] $\frac{1}{x^2}$.
[/mm]
>
> Betrachte I2 =
> [mm]\integral_{0}^{1}\frac{\sinh(\sqrt{x})}{(e^{\sqrt{x}}-1)^2}dx[/mm]
> kritische Stelle x=0
> Betrachte: [mm]\limes_{x \to 0} {\frac{1-e^{-2\sqrt{x}}}{(1-e^{-\sqrt{x}})^2}}\cdot \frac{1}{2e^{\sqrt{x}}}[/mm]
> = [mm]\bruch{"0"}{0}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] L´Hop: [mm]\limes_{x \to 0} \bruch{\bruch{1}{e^{2\wurzel{x}}}}{2(1-e^{-\wurzel{x}})+(1-e^{-\wurzel{x}})*e^{\wurzel{x}}}dx[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{e^{2\wurzel{x}}*[2*(1-e^{-\wurzel{x}})+(1-e^{-\wurzel{x}})*e^{\wurzel{x}}]}dx[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Vermutung I2 ist divergent?
>
> ist das soweite richtig?
ich glaube nein. L'Hospital war mir zu mühsam anzuwenden, ich habe statt dessen aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion die folgenden Näherungen für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0+$ verwendet: [mm] $1-e^{-2\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+o(\sqrt{x})$ [/mm] und [mm] $1-e^{-\sqrt{x}}=\sqrt{x}+o(\sqrt{x})$.
[/mm]
Dann erhält man:
[mm]\frac{1-e^{-2\sqrt{x}}}{(1-e^{-\sqrt{x}})^2}}\cdot \frac{1}{2e^{\sqrt{x}}}=\frac{2\sqrt{x}+o(\sqrt{x})}{(\sqrt{x}+o(\sqrt{x}))^2}\cdot\frac{1}{2e^{\sqrt{x}}}=\green{\frac{2\sqrt{x}+o(\sqrt{x})}{\sqrt{x}+o(\sqrt{x})}}\cdot \blue{\frac{1}{2e^{\sqrt{x}}}}\cdot \red{\frac{1}{\sqrt{x}+o(\sqrt{x})}}[/mm]
Der grüne Faktor geht gegen $2$ und der blaue gegen [mm] $\frac{1}{2}$. [/mm] Entscheidend für Konvergenz oder Divergenz an der unteren Grenze $x=0$ ist daher der rote Term [mm] $\frac{1}{\sqrt{x}+o(\sqrt{x})}$. [/mm] Da aber das Integral [mm] $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\;dx<\infty$ [/mm] (konvergiert), muss auch Dein Integral konvergieren.
> Habe nun versucht mit dem Minorantenkriterium abzuschätzen,
> allerdungs bin ich nicht weitergekommen?!
Wie gesagt: ich bin der Meinung, dass sich hier der Integrand für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0+$ wie [mm] $\frac{1}{\sqrt{x}}$ [/mm] verhält und Du deshalb eine konvergente Majorante erhältst (die einfach um einen konstanten Faktor grösser als $1$ grösser ist als [mm] $\frac{1}{\sqrt{x}}$, [/mm] ab einem genügend kleinen $x>0$).
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