unendl. viele Lösungen in Z < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Di 20.12.2016 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | Die Gleichung [mm] x^2-3y=1 [/mm] hat unendlich viele verschiedene Lösungen (x,y) [mm] \in \IZ \times \IZ.
[/mm]
Gibt es [mm] x,y\in\IZ [/mm] mit [mm] x^2-3y^2=-1 [/mm] |
Hi zusammen. Leider fehlt mir bei der obigen Aufgabe der Ansatz, ich seh zwar das z.B. (2,1) und (7,4) Lösungen von [mm] x^2-3y^2=1 [/mm] sind. Aber wie kann ich zeigen, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat?
Bin für jeden Tipp dankebar. Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Di 20.12.2016 | | Autor: | abakus |
> Die Gleichung [mm]x^2-3y=1[/mm] hat unendlich viele verschiedene
> Lösungen (x,y) [mm]\in \IZ \times \IZ.[/mm]
>
> Gibt es [mm]x,y\in\IZ[/mm] mit [mm]x^2-3y^2=-1[/mm]
> Hi zusammen. Leider fehlt mir bei der obigen Aufgabe der
> Ansatz, ich seh zwar das z.B. (2,1) und (7,4) Lösungen von
> [mm]x^2-3y^2=1[/mm] sind. Aber wie kann ich zeigen, dass die
> Gleichung unendlich viele Lösungen hat?
>
> Bin für jeden Tipp dankebar. Viele Grüße
Du kannst z.B. umstellen zu [mm]x^2-1=3y[/mm] und die linke Seite mit der binomischen Formel faktorisieren.
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wie kann man denn aus [mm] (x-1)(x+1)=3y^2 [/mm] zeigen, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Könnt ihr mir einen Hinweis geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Di 20.12.2016 | | Autor: | abakus |
Was denn nun? Steht da 3y oder auch schon (wie in deiner zweiten Aufgabe) 3y²?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Di 20.12.2016 | | Autor: | Keinstein |
Ich interessiere mich für die Lösungen von [mm] x^2-3y^2=1, [/mm] bin aber nicht der Fragensteller aus Frage 1. Wenn Sie mir helfen könnten, wäre ich ihnen sehr dankbar!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Di 20.12.2016 | | Autor: | abakus |
Ich glaube inzwischen, dass das auch funktioniert, wenn da 3y² steht.
Es gilt z.B.
2²-1=3*1²
7²-1=3*4²
26²-1=3*15²
97²-1=3*56²
362²-1=3*209²
Auf der linken Seite fällt auf, dass 2, 26 und 362 Nachfolger von Quadratzahlen sind, während 7 und 97 jeweils Vorgänger des Doppelten einer Quadratzahl sind.
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Ja das ist mir auch aufgefallen, ich tue mich nur bei der Verallgemeinerung so schwer. Hast du da evnetuell einen Ansatz oder denkst du das der Ansatz in der Mitteilung schon usreichen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Di 20.12.2016 | | Autor: | Schobbi |
Erstmal vielen Dank für Eure Hilfe, leider habe ich mich in der Aufgabestellung vertippt und es müsste wirklich heißen:
[mm] x^2-3y^2=1
[/mm]
Sorry, dass ich da ein kleine Chaos verursacht habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Do 22.12.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Di 20.12.2016 | | Autor: | hippias |
Versuche aus zwei Lösungen $(x,y)$ und $(x',y')$ eine neue Lösung zu konstruieren. Tipp: 3. bin. Formel...
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