unendlich viele Lösungen < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Mi 21.02.2007 | | Autor: | MadTaus |
| Aufgabe | Beweise: Das LGS besitzt nur die triviale Lösung oder aber unendlich viele Lösungen.
ax+by+cz=0
dx+ey+fz=0
gx+hy+iz=0
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Der Beweis für die triviale lösung ist mir klar.
Für die unendlich vielen Lösungen würde ich es vielleicht so erklären:
... egal wie x, y oder z gewählt wird, durch die Parameter lässt sich das Gleichungssystem immer lösen. Da die Parameter sich jeweils nach bestimmten Verhältnissen verändern.
1. Frage: Wäre das so inhaltlich korrekt? (mir kommt es nicht so vor)
Wie könnte man das in mathematischer Form ausdrücken?
2. Frage: Könnte man auch einfach behaupten:
Egal welche reellen Zahlen {(x, y und z)} annimmt, die Paramter
könnten jeweils für 0 stehen (also a, b, c, d, e, f, g, h, i =0)
und somit würde wieder 0 bei allen Gleichungen sich als Ergebnis
ergeben und das LGS wäre gelöst. ?????????????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Mi 21.02.2007 | | Autor: | piet.t |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Beweise: Das LGS besitzt nur die triviale Lösung oder aber
> unendlich viele Lösungen.
>
> ax+by+cz=0
> dx+ey+fz=0
> gx+hy+iz=0
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Der Beweis für die triviale lösung ist mir klar.
> Für die unendlich vielen Lösungen würde ich es vielleicht
> so erklären:
Das Problem liegt wohl darin, wie die Parameter in der Aufgabe verwendet werden sollen. Du siehst da wohl zwei Möglichkeiten...
> ... egal wie x, y oder z gewählt wird, durch die
> Parameter lässt sich das Gleichungssystem immer lösen. Da
> die Parameter sich jeweils nach bestimmten Verhältnissen
> verändern.
Das verstehe ich jetzt so:
Man löst das Gleichungssystem für irgendwelche Werte der Parameter a bis i und verändert dann diese, um neue Lösungen zu erhalten.
So ist die Aufgabe aber nicht gemeint, es geht darum, die Anzahl der Lösungen für eine feste (aber beliebige) Belegung der Parameter zu untersuchen.
>
> 1. Frage: Wäre das so inhaltlich korrekt? (mir kommt es
> nicht so vor)
> Wie könnte man das in mathematischer Form
> ausdrücken?
>
> 2. Frage: Könnte man auch einfach behaupten:
> Egal welche reellen Zahlen {(x, y und z)} annimmt, die
> Paramter
> könnten jeweils für 0 stehen (also a, b, c, d, e, f, g, h,
> i =0)
> und somit würde wieder 0 bei allen
> Gleichungen sich als Ergebnis
> ergeben und das LGS wäre gelöst. ?????????????
Das kommt der Sache schon näher: Eine feste Belegung (a bis i alle auf 0) und dan gibt es unendlich viele Lösungen.
Allerdings bist nicht Du derjenige, der die Parameterwerte festelegen darf, sondern Deine Argumentation muss so funktionieren, dass Deine Antwort für alle Parameterwerte, die ich (oder irgendjemand anders) Dir nächste Woche vorgibt immer richtig ist....
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Wie aber dann an die Aufgabe rangehen?
Dass die triviale Lösung immer Lösung ist hast Du ja schon gezeigt.
Gibt es keine weitere Lösung ist man fertig. Angenommen, es gibt aber eine nicht-triviale Lösung (x,y,z) (d.h. von x, y, z ist mindestens eines [mm] \not= [/mm] 0). Wie könnte man aus dieser Lösung eine weitere konstruieren?? Oder auch zwei oder drei oder vier oder.....
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mi 21.02.2007 | | Autor: | MadTaus |
Genau das würde ich ja gerne wissen! Laut der Aufgabenstellung soll ich ja beweisen, dass es unendliche viele Lösungen haben kann. (also soll ich davon ausgehen, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat.)
Könnte mir vielleicht jemand eine mögliche Lösung zeigen und erklären?
danke schon mal
P.S. hab schon daran gedacht x, y, oder z durch eine Konstante zu ersetzen, komme aber auf keine annehmliche Lösung. Kann mir jemand helfen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Mi 21.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du weisst doch, dass wenn die Matrix der Koeffizienten Rang<3 hat, dann hast du unendlich viele Loesungen.
also musst du nur sagen, wenn die Zeilenvektoren lin abh. sind gibt es unendlich viele Loesungen. oder falls x=(x1,x2,x3) ne Loesung ist, dann auch r*x was leicht zu zeigen ist, denn wenn eine Zeile =0 dann auch das r-fache.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mi 21.02.2007 | | Autor: | MadTaus |
Könnte mir einfach mal jemand das vorrechnen??
Hatte nämlich noch keine Matrizen, sondern bin nur auf dem Stand von Gauß.
Eine einfache, verständliche Musterlösung also, vorgerechnet. Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Mi 21.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ne, tu ich nicht, aber nochmal, wenn du eine Loesung hast, die du ja nicht angeben musst, dann multiplizier sie mit ner beliebigen Zahl r und setz das wieder ein, klammer r aus, und du siehst es ist wieder ne loesung.
a*x1+b*x2+c*x3=0 sei richtig. d.h.((x1,x2,x3)ist eine Loesung dann gilt
a*rx1+b*rx2+c*rx3=0 ist auch richtig, denn die Gleichung ist aequivalent mit
r*(a*x1+b*x2+c*x3)=0
natuerlich kannst du das auch fuer alle 3 Zeilen hinschreiben!
da r beliebig ist hast du damit unendlich viele Loesungen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Mi 21.02.2007 | | Autor: | MadTaus |
Danke dafür!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Mi 21.02.2007 | | Autor: | piet.t |
Hierzu noch eine kleine ANmerkung von mir:
> Laut der
> Aufgabenstellung soll ich ja beweisen, dass es unendliche
> viele Lösungen haben kann.
Das steht so aber nicht in der Aufgabenstellung....
Du sollst beweisen, dass es entweder genau eine Lösung (nämlich die triviale) Lösung hat oder aber unendlich viele - es sind also mindestens zwei Fälle zu betrachten.
Vor allem sollst Du also zeigen, dass das Gleichungssystem niemals genau zwei oder drei oder vier... verschiedene Lösungen haben kann!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mi 21.02.2007 | | Autor: | MadTaus |
Wie könnte ich das zeigen??
Könnte mir da jemand vielleicht etwas konkretes zeigen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mi 21.02.2007 | | Autor: | SEcki |
> Wie könnte ich das zeigen??
> Könnte mir da jemand vielleicht etwas konkretes zeigen.
Wenn [m](x,y,z)[/m] eine Lösung ist, dann auch [m](p*x,p*y,p*z)[/m] für relles p. (Ihr löst doch über den rellen Zahlen, oder?)
SEcki
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