unendlich viele Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:35 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Zeige: [mm] \forall [/mm] n>2 gibt es eine p Primzahl mit n<p<n!. |
Hallo,
also ich habe das bereits bewiesen, indem ich einfach das Bertrandsche Postulat zitiert habe, denn [mm] n!\geq [/mm] 2n für n>2. Damit ist es klar.
Allerdings soll man das auch ohne hinbekommen. Mir ist bloß noch nicht so richtig klar wie. Ich wollte erst die Primfaktorzerlegungen von n und n! betrachten und dann sagen, dass in n! ein Primfaktor >n vorkommt, was natürlich nicht stimmt, also geht das nicht.
Wie macht man das anders?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 05:17 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Unk |
> Hiho,
>
> hier hilft dir das
> ![[]](/images/popup.gif) Lemma von Euklid
> weiter.
>
> MFG
> Gono.
Naja nicht so recht. Ich soll das beweisen, ohne dass ich weiß, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, denn das ist die Folgerung, die ich aus meiner Behauptung ziehen soll, was ja auch klar ist.
Muss ich nur noch die Behauptung beweisen, was mir nicht gelingen will, weil wenn n aus endlich vielen Primzahlen besteht in n! keine Primzahl vorkommt, die größer als n ist.
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> Zeige: [mm]\forall[/mm] n>2 gibt es eine p Primzahl mit n<p<n!.
> Hallo,
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> also ich habe das bereits bewiesen, indem ich einfach das
> Bertrandsche Postulat zitiert habe, denn [mm]n!\geq[/mm] 2n für
> n>2. Damit ist es klar.
>
> Allerdings soll man das auch ohne hinbekommen. Mir ist
> bloß noch nicht so richtig klar wie. Ich wollte erst die
> Primfaktorzerlegungen von n und n! betrachten und dann
> sagen, dass in n! ein Primfaktor >n vorkommt, was
> natürlich nicht stimmt, also geht das nicht.
>
> Wie macht man das anders?
Hallo Unk,
betrachte einmal die Zahl n!-1 und ihre Teiler.
Entweder ist n!-1 eine Primzahl - dann hätten
wir also schon die gesuchte Primzahl zwischen
n und n! (denn für n>2 ist stets n<n!-1<n!) -
oder aber n!-1 hat einen kleinsten echten Prim-
teiler p . Nun kann man aber zeigen, dass [mm] p\le [/mm] n
nicht in Frage kommt, weil dann n! mod p =0
und folglich (n!-1) mod p [mm] =p-1\not=0 [/mm] sein müsste,
was im Widerspruch dazu steht, dass p [mm] \mid [/mm] (n!-1) .
Also muss p>n sein (und natürlich auch p<n!) .
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Unk |
Das finde ich gut.
Nur warum muss p unbedingt der kleinste echte Primteiler sein? Es reicht doch das für einen beliebigen Primteiler zu zeigen, oder nicht? Im Prinzip ist doch sogar die Fallunterscheidung nicht notwendig, der Primteiler kann also auch unecht sein, also gleich n!-1. Oder ändert das irgendwas an der Richtigkeit?
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Hallo Unk,
> Das finde ich gut.
> Nur warum muss p unbedingt der kleinste echte Primteiler
> sein? Es reicht doch das für einen beliebigen Primteiler
> zu zeigen, oder nicht?
Klar. Alle Primteiler von (n!-1) sind >n.
> Im Prinzip ist doch sogar die
> Fallunterscheidung nicht notwendig, der Primteiler kann
> also auch unecht sein, also gleich n!-1. Oder ändert das
> irgendwas an der Richtigkeit?
Nein, auch das ist ein möglicher Fall. Also ist (n!-1) entweder selbst prim oder hat nur Primteiler p mit n<p<n!.
lg
reverend
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> Das finde ich gut.
> Nur warum muss p unbedingt der kleinste echte Primteiler
> sein? Es reicht doch das für einen beliebigen Primteiler
> zu zeigen, oder nicht? Im Prinzip ist doch sogar die
> Fallunterscheidung nicht notwendig, der Primteiler kann
> also auch unecht sein, also gleich n!-1. Oder ändert das
> irgendwas an der Richtigkeit?
Du hast Recht. Dass ich meine Idee noch nicht in der
einfachst möglichen Form präsentiert habe, liegt einfach
daran, dass ich sie quasi "in statu nascendi" übermittelt
habe.
LG Al-Chw.
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