unendlich viele Punkte < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Also gegeben sind zwei Punkt G und H, die nicht gleich sind. Zu zeigen ist, dass es unendlich viele Punkte zwischen G und H gibt. |
Hey,
also wir haben bisher die Inzidenz und Anordnungsaxiome behandelt und sollen die Aussage oben denke ich auch damit beweisen, allerdings hab ich mit den Beweisen in der axiomatischen Geometrie noch so meine Probleme, kann mir evtl jemand nen tip geben, wie ich vorgehen könnte??
EDIT:
hab mir gerad noch so meine Gedanken gemacht und wollte mal kurz fragen, ob mir jemand sagen kann, ob ich so argumentieren könnte.
Also ich hab ja zwei Punkte G und H, ich könnte ja die aus der Vektorrechnung bekannte Parametergleichung der Geraden aufstellen, die durch G und H geht. Um alle Punkte zwischen G und H zu finden, muss der Parameter in der Gleichung ja nun unendlich viele Werte annehmen (der Parameter ist aus den reellen Zahlen) und durch jeden dieser Werte wird genau ein Punkt definiert. Also insgesamt unendlich viele.
Kann ich das so machen???
mfg
piccolo
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> Also gegeben sind zwei Punkt G und H, die nicht gleich
> sind. Zu zeigen ist, dass es unendlich viele Punkte
> zwischen G und H gibt.
> Hey,
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> also wir haben bisher die Inzidenz und Anordnungsaxiome
> behandelt und sollen die Aussage oben denke ich auch damit
> beweisen, allerdings hab ich mit den Beweisen in der
> axiomatischen Geometrie noch so meine Probleme, kann mir
> evtl jemand nen tip geben, wie ich vorgehen könnte??
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> EDIT:
> hab mir gerad noch so meine Gedanken gemacht und wollte
> mal kurz fragen, ob mir jemand sagen kann, ob ich so
> argumentieren könnte.
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> Also ich hab ja zwei Punkte G und H, ich könnte ja die aus
> der Vektorrechnung bekannte Parametergleichung der Geraden
> aufstellen, die durch G und H geht. Um alle Punkte zwischen
> G und H zu finden, muss der Parameter in der Gleichung ja
> nun unendlich viele Werte annehmen (der Parameter ist aus
> den reellen Zahlen) und durch jeden dieser Werte wird genau
> ein Punkt definiert. Also insgesamt unendlich viele.
>
> Kann ich das so machen???
Hallo,
nein, das kannst Du ganz gewiß nicht so machen.
Wie Du schreibst, geht es um axiomatische Geometrie, und da verlangt man von Dir, daß Du die zu beweisende Behauptung aus den Dir vorliegenden Axiomen und bereits bewiesenen Sätzen entwickelst.
Es kommt halt darauf an, was Dir genau an Apparat in welcher Formulierung zur Verfügung steht.
Mal als Idee: zwischen G und H gibt es einen Punkt [mm] P_1, [/mm] zwischen [mm] P_1 [/mm] und G einen Punkt [mm] P_2 [/mm] usw.
Gruß v. Angela
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> mfg
> piccolo
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> > Also gegeben sind zwei Punkt G und H, die nicht gleich
> > sind. Zu zeigen ist, dass es unendlich viele Punkte
> > zwischen G und H gibt.
> > Hey,
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> > also wir haben bisher die Inzidenz und Anordnungsaxiome
> > behandelt und sollen die Aussage oben denke ich auch damit
> > beweisen, allerdings hab ich mit den Beweisen in der
> > axiomatischen Geometrie noch so meine Probleme, kann mir
> > evtl jemand nen tip geben, wie ich vorgehen könnte??
> >
> > EDIT:
> > hab mir gerad noch so meine Gedanken gemacht und wollte
> > mal kurz fragen, ob mir jemand sagen kann, ob ich so
> > argumentieren könnte.
> >
> > Also ich hab ja zwei Punkte G und H, ich könnte ja die aus
> > der Vektorrechnung bekannte Parametergleichung der Geraden
> > aufstellen, die durch G und H geht. Um alle Punkte zwischen
> > G und H zu finden, muss der Parameter in der Gleichung ja
> > nun unendlich viele Werte annehmen (der Parameter ist aus
> > den reellen Zahlen) und durch jeden dieser Werte wird genau
> > ein Punkt definiert. Also insgesamt unendlich viele.
> >
> > Kann ich das so machen???
>
> Hallo,
>
> nein, das kannst Du ganz gewiß nicht so machen.
> Wie Du schreibst, geht es um axiomatische Geometrie, und
> da verlangt man von Dir, daß Du die zu beweisende
> Behauptung aus den Dir vorliegenden Axiomen und bereits
> bewiesenen Sätzen entwickelst.
>
> Es kommt halt darauf an, was Dir genau an Apparat in
> welcher Formulierung zur Verfügung steht.
>
> Mal als Idee: zwischen G und H gibt es einen Punkt [mm]P_1,[/mm]
> zwischen [mm]P_1[/mm] und G einen Punkt [mm]P_2[/mm] usw.
>
ok, also wir hatten ein Anordnungsaxiom: (A2):Zu je zwei verschiedenen Punkten A, B gibt es einen Punkt C, so dass Zw(ABC) (d.h., dass B zwischen A und C liegt).
Das kann ich doch jetzt anwenden. Mal angenommen es würde nur endlich viele Punkte zwischen G und H geben, sagen wir mal insgesamt n Stück, dann könnte ich (A2) doch n-mal anwenden und erhalte dann die Punkte [mm] P_{1},...,P_{n}, [/mm] die jeweils zwischen G und H liegen. Allerdings gibt es nach (A2) noch weitere Punkte zwischen G und H, z.B. einen zwischen dem [mm] P_{i}, [/mm] der am dichtesten an G liegt und G. Also kann die Anzahl der Punkte zwischen G und H nicht endlich sein, sie ist unendlich.
Zudem hatten wir noch ein Axiom: (A1) Wenn A, B, C [mm] \in [/mm] g und B zwischen A und C liegt: Zw(ABC), dann sind A, B, C
paarweise verschieden und B liegt auch zwischen C und A: Zw(CBA).
Mit dem Axiom (A1) folgt dann doch, dass alle diese Punkte auch verschieden sind.
Ist dieser Ansatz/Beweis denn so korrekt geführt?
mfg piccolo
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> > > Also gegeben sind zwei Punkt G und H, die nicht gleich
> > > sind. Zu zeigen ist, dass es unendlich viele Punkte
> > > zwischen G und H gibt.
> > > Hey,
> > >
> > > also wir haben bisher die Inzidenz und Anordnungsaxiome
> > > behandelt und sollen die Aussage oben denke ich auch damit
> > > beweisen, allerdings hab ich mit den Beweisen in der
> > > axiomatischen Geometrie noch so meine Probleme, kann mir
> > > evtl jemand nen tip geben, wie ich vorgehen könnte??
> > >
> > > EDIT:
> > > hab mir gerad noch so meine Gedanken gemacht und
> wollte
> > > mal kurz fragen, ob mir jemand sagen kann, ob ich so
> > > argumentieren könnte.
> > >
> > > Also ich hab ja zwei Punkte G und H, ich könnte ja die aus
> > > der Vektorrechnung bekannte Parametergleichung der Geraden
> > > aufstellen, die durch G und H geht. Um alle Punkte zwischen
> > > G und H zu finden, muss der Parameter in der Gleichung ja
> > > nun unendlich viele Werte annehmen (der Parameter ist aus
> > > den reellen Zahlen) und durch jeden dieser Werte wird genau
> > > ein Punkt definiert. Also insgesamt unendlich viele.
> > >
> > > Kann ich das so machen???
> >
> > Hallo,
> >
> > nein, das kannst Du ganz gewiß nicht so machen.
> > Wie Du schreibst, geht es um axiomatische Geometrie,
> und
> > da verlangt man von Dir, daß Du die zu beweisende
> > Behauptung aus den Dir vorliegenden Axiomen und bereits
> > bewiesenen Sätzen entwickelst.
> >
> > Es kommt halt darauf an, was Dir genau an Apparat in
> > welcher Formulierung zur Verfügung steht.
> >
> > Mal als Idee: zwischen G und H gibt es einen Punkt [mm]P_1,[/mm]
> > zwischen [mm]P_1[/mm] und G einen Punkt [mm]P_2[/mm] usw.
> >
> ok, also wir hatten ein Anordnungsaxiom: (A2):Zu je zwei
> verschiedenen Punkten A, B gibt es einen Punkt C, so dass
> Zw(ABC) (d.h., dass B zwischen A und C liegt).
>
> Das kann ich doch jetzt anwenden. Mal angenommen es würde
> nur endlich viele Punkte zwischen G und H geben, sagen wir
> mal insgesamt n Stück, dann könnte ich (A2) doch n-mal
> anwenden und erhalte dann die Punkte [mm]P_{1},...,P_{n},[/mm] die
> jeweils zwischen G und H liegen. Allerdings gibt es nach
> (A2) noch weitere Punkte zwischen G und H, z.B. einen
> zwischen dem [mm]P_{i},[/mm] der am dichtesten an G liegt und G.
> Also kann die Anzahl der Punkte zwischen G und H nicht
> endlich sein, sie ist unendlich.
> Zudem hatten wir noch ein Axiom: (A1) Wenn A, B, C [mm]\in[/mm] g
> und B zwischen A und C liegt: Zw(ABC), dann sind A, B, C
> paarweise verschieden und B liegt auch zwischen C und A:
> Zw(CBA).
> Mit dem Axiom (A1) folgt dann doch, dass alle diese Punkte
> auch verschieden sind.
>
> Ist dieser Ansatz/Beweis denn so korrekt geführt?
Hallo,
ich habe den Eindruck, daß Du nun verstanden hast, wie in etwa die Sache funktionieren könnte.
Für einen Beweis ist das noch zu Wischiwaschi.
In einem Beweis mußt Du jede Überlegung und jede Folgerung mit einem Axiom/Satz begründen.
Du müßtest nun also eine strenge Argumentationskette aufschreiben, in welcher keinerlei Folgerung aufgrund von Anschuungs- oder Plausibilitätsbetrachtungen gezogen wird, sondern rein aufgrund der mitgeteilten Axiome und Folgerungen.
> Mit dem Axiom (A1) folgt dann doch, dass alle diese Punkte
> auch verschieden sind.
Sowas z.B. ist das, was ich mit Wischiwaschi meine: Du mußt genau vormachen, wie es folgt.
So, wie's dasteht, ist's lediglich eine Behauptung.
Gruß v. Angela
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