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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:12 Di 30.05.2006 | | Autor: | anki |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenden unendlichen Produkte ganze Funktionen definieren!
[mm] \produkt_{n=1}^{\infty}(1+a^{n}z) [/mm] , |a|<1
[mm] \produkt_{n \in \IZ , n\not=0}(1-\bruch{z}{n})e^{\bruch{z}{n}} [/mm] |
Genügt es hier den Weierstraß'schen Produktsatz für [mm] \IC [/mm] anzuwenden und zu zeigen, dass [mm] a_{n} \in \IC [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty [/mm] (also eine Folge ohne Häufungspunkt) wobei die [mm] a_{n} [/mm] hier meine Nullstellen sind?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Do 01.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass die folgenden unendlichen Produkte ganze
> Funktionen definieren!
> [mm]\produkt_{n=1}^{\infty}(1+a^{n}z)[/mm] , |a|<1
> [mm]\produkt_{n \in \IZ , n\not=0}(1-\bruch{z}{n})e^{\bruch{z}{n}}[/mm]
>
> Genügt es hier den Weierstraß'schen Produktsatz für [mm]\IC[/mm]
> anzuwenden und zu zeigen, dass [mm]a_{n} \in \IC[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty[/mm] (also eine Folge
> ohne Häufungspunkt) wobei die [mm]a_{n}[/mm] hier meine Nullstellen
> sind?
Ich denke nicht! Einmal fehlen ja die konvergenzerzwingenden Faktoren aus dem Produktsatz! Ausserdem liefert der Produktsatz zu einer gegebenen Nullstellenmenge eine ganze Funktion; wenn er zufaellig genau die Funktionen liefert, die du oben hast (fuer eine bestimmte Menge), dann bist du natuerlich fertig. Ansonsten musst du aehnlich wie im Produktsatz beweisen, dass die obigen Produkte ganze Funktionen definieren...
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Fr 02.06.2006 | | Autor: | anki |
Ich glaube jetzt zu wissen, dass man zeigen muss, dass beim ersten Beispiel [mm] \summe_{n=1}^{\infty}ln(1+a^{n}z) [/mm] lokal gleichmäßig konvergiert da dann das Produkt auch lokal gleichmäßig konvergiert. Danach kann ich aus dem Weierstraßschen Konvergenzssatz folgern, dass das Produkt holomorph ist.
Nun ist mein Problem, dass ich für diese Summe keine konvergente Majorante [mm] a_{n} [/mm] finde sodass gilt [mm] |ln(1+a^{n}z)| \le a_{n}. [/mm] Das Problem ist ja, dass die konvergente Majorante nicht negativ werden darf aber falls ich zum Beispiel ln(1+(a+ [mm] \varepsilon)^{n}z) [/mm] als konvergente Majorante nehme, so gibt es wegen |a|<1 Probleme da es ja irgendein z gibt, sodass man insgesamt ln(irgendwas negativem <1) bekomme. Außerdem will man ja eine konvergente Majorante, die auf jedem kompakten Bereich das Gewünschte erfüllt.
Naja, ich hoffe, es ist jetzt noch irgendwie verständlich, was ich meine....
Zusammenfassend brauche ich eine auf jedem kompakten Bereich konvergente Majorante.
2. Beispiel müsste analog funktionieren.
Vielleicht fällt ja irgendwem so eine Majorante ein..
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Für die kompakte Konvergenz des Produktes [mm]\prod_n~\left( 1 + f_n(z) \right)[/mm] ist die Konvergenz der Reihe [mm]\sum_n~\sup_K \left| f_n \right|[/mm] für jedes Kompaktum [mm]K[/mm] hinreichend. Und das läuft hier bei der ersten Aufgabe auf eine Trivialität hinaus.
siehe auch ![[]](/images/popup.gif) normale Konvergenz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Mi 07.06.2006 | | Autor: | anki |
Blöde Frage, aber wie ich finde ich dieses Supremum?
Und geht das beim zweiten Beispiel genauso?
(Wäre es nicht vielleicht leichter so eine konvergente Majorante zu finden? Oder hab ich da überhaupt einen Hund (Wurm) drinnen? )
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[mm]\sum_n~a^n z = z \, \sum_n~a^n[/mm]
Die Reihe ist ja unabhängig von [mm]z[/mm] und wegen [mm]|a|<1[/mm] konvergent. Herz, was begehrst du mehr!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Do 08.06.2006 | | Autor: | anki |
Danke :)
Und jetzt noch eine blöde Frage. Beim zweiten Beispiel, kann ich da auch einfach sagen, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}ln(1-\bruch{z}{n})e^\bruch{z}{n} [/mm] auch lokal glm. konvergiert weil sie unabhängig von z konvergiert (was ja der Fall ist bei [mm] n\to\infty)? [/mm] Oder muss ich da wieder mit konvergenten Majoranten arbeiten? Ich komm einfach nicht los von meinen Majoranten...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Fr 09.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke :)
> Und jetzt noch eine blöde Frage. Beim zweiten Beispiel,
> kann ich da auch einfach sagen, dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}ln(1-\bruch{z}{n})e^\bruch{z}{n}[/mm] auch
> lokal glm. konvergiert weil sie unabhängig von z
> konvergiert (was ja der Fall ist bei [mm]n\to\infty)?[/mm]
Wieso konvergiert sie unabhaengig von $z$? Das tut sie definitv nicht in dem Sinne, den Leopold vorhin benutzt hat.
> Oder muss
> ich da wieder mit konvergenten Majoranten arbeiten? Ich
> komm einfach nicht los von meinen Majoranten...
Ja, Majoranten sind hier ganz sinnvoll.
LG Felix
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