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| Aufgabe | beweisen sie für alle x,y [mm] \in \IQ [/mm] und für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0 die ungleichung
[mm] (x+y)²\le(1+ \varepsilon ²)x²+(1+\bruch{1}{\varepsilon ²})y² [/mm] |
hallo alle zusammen, mein kollege und ich machen die aufgaben zusammen und wir haben folgende ergebnisse und wissen nicht welches richtig ist. Dazu muss ich sagen dass mein kollege auch ein ganz anderen weg gewählt hat als ich.
ich hab da folgendes raus bekommen
[mm] 0\le \varepsilon x+\bruch{y}{\varepsilon}
[/mm]
und mein kollege hat folgendes ergebnis
[mm] 0\le \varepsilon x-\bruch{y}{\varepsilon}
[/mm]
Das ist in sofern wichtig da wir im nächsten aufgaben teil den gleichheitsfall in abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] rauskriegen müssen.
Liebe Grüße
barney
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Hallo!
> beweisen sie für alle x,y [mm]\in \IQ[/mm] und für jedes [mm]\varepsilon[/mm]
> >0 die ungleichung
> [mm](x+y)²\le(1+ \varepsilon ²)x²+(1+\bruch{1}{\varepsilon ²})y²[/mm]
>
> hallo alle zusammen, mein kollege und ich machen die
> aufgaben zusammen und wir haben folgende ergebnisse und
> wissen nicht welches richtig ist. Dazu muss ich sagen dass
> mein kollege auch ein ganz anderen weg gewählt hat als
> ich.
> ich hab da folgendes raus bekommen
> [mm]0\le \varepsilon x+\bruch{y}{\varepsilon}[/mm]
> und mein
> kollege hat folgendes ergebnis
> [mm]0\le \varepsilon x-\bruch{y}{\varepsilon}[/mm]
>
Was sollen das denn für Ergebnisse sein? Ich kann daran nicht erkennen, das die o.g. Ungleichung richtig ist....
Fangt mit etwas an, was offensichtlich stimmt:
0 [mm] \le (\varepsilon [/mm] x - [mm] \frac{1}{\varepsilon}y)^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le \varepsilon^2x^2-2xy+\frac{y^2}{\varepsilon^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 2xy [mm] \le \varepsilon^2 x^2 [/mm] + [mm] \frac{y^2}{\varepsilon^2}
[/mm]
Jetzt noch auf beiden Seiten [mm] +x^2+y^2 [/mm] rechnen, ein bisschen ausklammern und fertig...
> Das ist in sofern wichtig da wir im nächsten aufgaben teil
> den gleichheitsfall in abhängigkeit von [mm]\varepsilon[/mm]
> rauskriegen müssen.
>
> Liebe Grüße
> barney
>
Gruß Patrick
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Danke für die antwort, aber ich hab noch eine Frage wie kommst du darauf, dass 0 $ [mm] \le (\varepsilon [/mm] $ x - $ [mm] \frac{1}{\varepsilon}y)^2 [/mm] $ offensichtlich stimmt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die antwort, aber ich hab noch eine Frage wie
> kommst du darauf, dass 0 [mm]\le (\varepsilon[/mm] x -
> [mm]\frac{1}{\varepsilon}y)^2[/mm] offensichtlich stimmt?
weil in einem jeden geordneten Körper $K$ gilt: $k [mm] \in [/mm] K$ [mm] $\Rightarrow$ $k^2 \ge 0=0_K\,.$
[/mm]
Siehe auch Satz 3.3 aus ![[]](/images/popup.gif) diesem Skript.
Notfalls mache Dir das ganze erst mal in [mm] $\IR$ [/mm] klar.
Und vielleicht schaust Du Dir bei obigen Skript auch mal den Beweis zu Satz 3.4 an, damit Du ein Gefühl für die Notation bekommst bzw. auch ein Gefühl dafür, warum Du bei obiger zu beweisender Ungleichung (notationsmäßig) einfach so rechnen kannst, als wenn [mm] $\IR$ [/mm] der zugrundeliegende Körper wäre.
(Die Notation [mm] $\frac{x+y}{2}$ [/mm] kennst Du z.B. für $x,y [mm] \in \IR$, [/mm] für allgemeinere Körper $K$, also wenn dann $x,y [mm] \in [/mm] K$, würde man [mm] \frac{x+y}{2} [/mm] auch schreiben und z.B. mit [mm] $2=1+1=1_K+1_K=2_K$ [/mm] (beachte bitte: hier ist [mm] $2=2_K \in [/mm] K$; keineswegs ist i.a. [mm] $2_K \in \IN$) [/mm] dann [mm] $\frac{x+y}{2}=(x+y)*{2_K}^{-1}$ [/mm] interpretieren.)
Gruß,
Marcel
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Erst einmal möchte ich mich für die mühen von den beiden helfenden in diesem thread bedanken.
Natürlich is ne zahl hoch 2 immer positiv. Nun zu meinem Vorgehen bei dieser Aufgabe(hätte ich wohl von Anfang an beschreiben sollen).
Ich hatte die "Ausgangsungleichung" so weit umgeformt, dass es kein Problem war, daraus die Wurzel zu ziehen. Dann kann ich natürlich um den ganzen Gedöns der größer als 0 sein soll Betragstriche machen, da das Ergebnis einer Wurzel immer ein pos. und ein neg. Ergebnis bringt.
Also habe ich das Ergebnis.
[mm] 0\le [/mm] | [mm] \varepsilon x+\bruch{y}{\varepsilon} [/mm] |
Und da alles was in betragstrichen steht größer gleich 0 ist is die aussage damit bewiesen... oder nicht?
gruß barney
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Erst einmal möchte ich mich für die mühen von den beiden
> helfenden in diesem thread bedanken.
> Natürlich is ne zahl hoch 2 immer positiv. Nun zu meinem
> Vorgehen bei dieser Aufgabe(hätte ich wohl von Anfang an
> beschreiben sollen).
> Ich hatte die "Ausgangsungleichung" so weit umgeformt,
> dass es kein Problem war, daraus die Wurzel zu ziehen.
> Dann kann ich natürlich um den ganzen Gedöns der größer als
> 0 sein soll Betragstriche machen, da das Ergebnis einer
> Wurzel immer ein pos. und ein neg. Ergebnis bringt.
> Also habe ich das Ergebnis.
> [mm]0\le[/mm] | [mm]\varepsilon x+\bruch{y}{\varepsilon}[/mm] |
> Und da alles was in betragstrichen steht größer gleich 0
> ist is die aussage damit bewiesen... oder nicht?
> gruß barney
schreib's vielleicht mal auf. Mit dem Begriff "Wurzelziehen" muss man hier (vielleicht) ein wenig vorsichtig umgehen. (Dir liegt ja [mm] $\IQ$ [/mm] zugrunde, und [mm] $\sqrt{q} \in \IQ$ [/mm] muss bekanntlich nicht für $q [mm] \in \IQ$ [/mm] gelten. Bsp. $q=2$.
Vielleicht benutzt Du den Begriff des Wurzelziehens aber in einer gewissen Analogie (bzw. unter gewissen "Rahmenbedingungen"), so dass Du ihn benutzen darfst. Für $q [mm] \in \IQ$ [/mm] ist z.B. [mm] $\sqrt{q^2}=|q| \in \IQ$; [/mm] vll. benutzt Du etwas in dieser Art...)
Wichtig ist generell, wenn man eine Aussage $B$ beweisen soll, dass man mit einer wahren Aussage $A$ startet und dann mittels Implikationen zeigt, dass dann auch $B$ gilt:
Weil $A$ gilt [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ... [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ... [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $B$, also ist $B$ bewiesen.
Es ist also wichtig, dass Du bei Deinen Umformungen Äquivalenzumformungen machst, so dass Du am Ende wegen der Richtigkeit der letzten Ungleichung dann alle [mm] $\gdw$-Zeichen [/mm] auch von unten nach oben und mit [mm] $\Leftarrow$ [/mm] lesen kannst. Wenn bei Dir nur Äquivalenzumformungen benutzt worden sind und Du am Ende [mm]\left|\varepsilon x+\bruch{y}{\varepsilon}\right| \ge 0[/mm] erkennst, was offensichtlich wahr ist, dann ist Dein Beweis natürlich okay.
Aber mal allgemein, was ich meine:
Für $x [mm] \in \IR$ [/mm] ist die Äquivalenz [mm] $x^2=1$ $\gdw$ [/mm] $x=1$ sicher falsch. Zwar gilt $x=1$ [mm] $\Rightarrow$ $x^2=1$, [/mm] aber aus [mm] $x^2=1$ [/mm] folgt nicht $x=1$, sondern "nur" $|x|=1$ bzw. $x=1$ oder $x=-1$.
Für $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt aber: [mm] $x^2=1$ $\gdw$ [/mm] $x=1$.
Die Problematik, wenn man aus der Behauptung eine wahre Aussage folgert, ist eben, dass damit nicht gezeigt wurde, dass die behauptete Aussage auch wahr ist.
Aus $-3=5$, was offensichtlich falsch ist, folgt nichtsdestotrotz $0*(-3)=0*5$, also $0=0$. Letzte Aussage ist wahr, die Behauptung $-3=5$ ist dennoch eine falsche Aussage.
Also, wenn Du eine Behauptung $B$ zeigen willst, so bringt es Dir nichts, zu sagen:
$B$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ... [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ... [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A$, und $A$ ist bereits als wahr erkannt, also gilt $B$. Das ist kein Beweis dafür, dass $B$ gilt.
Was anderes ist es, wenn Du schreiben kannst:
[mm] ($\star$) [/mm] $B$ [mm] $\gdw$ [/mm] ... [mm] $\gdw$ [/mm] ... [mm] $\gdw$ [/mm] $A$
und dann weißt, dass $A$ gilt. Denn dass $B$ gilt, folgt dann, weil [mm] $(\star)$ [/mm] zudem beinhaltet:
$B$ [mm] $\Leftarrow$ [/mm] ... [mm] $\Leftarrow$ [/mm] ... [mm] $\Leftarrow$ [/mm] $A$
bzw.
$A$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ... [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ... [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $B$
Das ist der Beweis für $B$, wenn $A$ als wahr erkannt ist.
Gruß,
Marcel
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