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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Mo 13.06.2005 | | Autor: | wolf |
hallo zusammen...zu beginn ich habe diese frage in noch keinem anderen forum gestellt.
Ich soll folgende ungleichungen beweisen:
a) [mm] e^{x}>1+x+\bruch{x^{2}}{2} [/mm] für x>0
b) x- [mm] \bruch{ x^{2}}{2}
ich hatte vor es mit umformungen zu versuchen, aber bin mir da nicht wirklich sicher...wie würdet ihr anfangen...?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wolf!
Betrachte doch mal die entsprechenden Potenzreihen von [mm] $f_1(x) [/mm] \ = \ [mm] e^x$ [/mm] bzw. [mm] $f_2(x) [/mm] \ = \ [mm] \ln(1+x)$ [/mm] .
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Herleitung über MacLaurin'sche Reihen :
$f(x) \ = \ f(0) + [mm] \bruch{f'(0)}{1!}*x [/mm] + [mm] \bruch{f''(0)}{2!}*x^2 [/mm] + [mm] \bruch{f'''(0)}{3!}*x^3 [/mm] + ... + [mm] \bruch{f^{(k)}(0)}{k!}*x^k [/mm] + ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mo 13.06.2005 | | Autor: | wolf |
also die potenzreihe von [mm] e^{x} [/mm] sieht wie folgt aus
1+ [mm] \bruch{x}{1!}+ \bruch{ x^{2}}{2!}+\bruch{x^{3}}{3!}+\bruch{x^{4}}{4!} +....+\bruch{x^{n}}{n!}
[/mm]
also [mm] \summe_{n=1}^{n} \bruch{x^{n}}{n!}
[/mm]
die potenzreihe von ln(x+1) sieht wiederum so aus:
x- [mm] \bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{3}}{3}+\bruch{x^{4}}{4}+...+\bruch{x^{n}}{n} [/mm] also [mm] \summe_{i=1}^{n} -1^{n-1} \bruch{ x^{n}}{n}...so [/mm] jetzt bin ich am überlegen wie weiter,...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Di 14.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Wolf!
> also die potenzreihe von [mm]e^{x}[/mm] sieht wie folgt aus
> 1+ [mm]\bruch{x}{1!}+ \bruch{ x^{2}}{2!}+\bruch{x^{3}}{3!}+\bruch{x^{4}}{4!} +....+\bruch{x^{n}}{n!}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So, und wenn Du nun die ersten beiden Ausdrücke hinschreibst mit den ausgerechneten Fakultäten, bist Du bei a.) doch schon fertig:
[mm] $e^x [/mm] \ = \ 1+ [mm] \bruch{x}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+...+\bruch{x^n}{n!}+... [/mm] \ = \ 1+ [mm] \bruch{x}{1}+ \bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{6}+...+\bruch{x^n}{n!}+... [/mm] \ = \ 1+ x+ [mm] \bruch{x^2}{2}+\underbrace{\bruch{x^3}{6}+\bruch{x^{4}}{24} +....+\bruch{x^n}{n!}+... }_{> \ 0 \ f"ur \ x>0} [/mm] \ > \ 1+ x+ [mm] \bruch{x^2}{2}$
[/mm]
> die potenzreihe von ln(x+1) sieht wiederum so aus:
> [mm]x-\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{3}}{3}\red{-}\bruch{x^{4}}{4}+...\red{\pm}\bruch{x^{n}}{n}[/mm] also [mm]\summe_{n=1}^{n} -1^{n-1} \bruch{ x^{n}}{n}...[/mm]
Achtung kleinere Korrekturen: [mm] $\ln(1+x) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\red{\infty}} \red{(}-1\red{)}^{n-1} \bruch{x^{n}}{n}$
[/mm]
Aber die Vorgehensweise ist analog zu Aufgabe a.) ...
Gruß
Loddar
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