unitäre Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:50 Di 23.11.2004 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo, ich habe folgendes Problem, wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte:
Eine Matrix A ist genau dann unitär, wenn sie die Norm eines Vektors invariant lässt.
Hinrichtung ist klar, aber Rückrichtung? Es folgt ja, dass die Spalten von A Norm 1 haben. Habs schön mit Polarisierung versucht, aber irgendwie komm ich nicht aufs richtige Ergebnis.
Vielen Dank schonmal.
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Di 23.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Jan
ich glaube kaum, dass die Frage so beantwortet werden kann.
Es ist ja so: wenn man diese Kette hat:
$A [mm] \Leftrightarrow [/mm] B [mm] \Leftrightarrow [/mm] C [mm] \Leftrightarrow [/mm] D [mm] \Leftrightarrow [/mm] E [mm] \Leftrightarrow [/mm] F [mm] \Leftrightarrow [/mm] G [mm] \Leftrightarrow [/mm] A$
Dann ist jede der Aussagen gleichwertig. Irgendwo muss der Kreis aber durchbrochen werden, das heisst, eine der beteiligten Aussagen (oder Definitionen) muss schon explizit angegeben werden.
Für dich heisst das: du musst uns schon sagen, wie ihr denn die unitäre Matrix definiert habt!
Die könnte ja, nach meiner obigen Bemerkung, so definiert sein:
Eine Matrix heisst unitär, wenn sie die Norm eines Vektors invariant lässt.
Dann wäre der Beweis geradezu banal! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Jan_Z |
wir haben unitäre matrizen so definiert, dass das transponierte und komplex konjugierte gleich dem inversen ist, sorry, hätte ich schon angeben sollen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jan!
Die Rückrichtung folgt unmittelbar durch Polarisation:
Sind $x,y [mm] \in \IC^n$ [/mm] beliebig gewählt, so folgt:
[mm] $\langle [/mm] A [mm] \bar{A}^Tx,y \rangle$
[/mm]
$= [mm] \langle \bar{A}^Tx, \bar{A}^Ty \rangle$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2} \cdot \left( \Vert \bar{A}^T(x+y) \Vert^2 - \Vert \bar{A}^T x \Vert^2 - \Vert \bar{A}^T y \Vert^2 \right)$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2} \cdot \left( \Vert x+y \Vert^2 - \Vert x \Vert^2 - \Vert y\Vert^2 \right)$
[/mm]
$= [mm] \langle [/mm] x,y [mm] \rangle$
[/mm]
$= [mm] \langle [/mm] E_nx,y [mm] \rangle$.
[/mm]
Da $x$ und $y$ beliebig waren, folgt:
$A [mm] \cdot \bar{A}^T [/mm] = [mm] E_n$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Liebe Grüße
Stefan
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