unitärer Raum, skalarprodukt < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Di 25.01.2011 | | Autor: | mathfrag |
| Aufgabe | zur Zeigen: die Menge P der Polynome mit reellen Koeffizieten, versehen mit dem Skalarprodukt
<p,q>= [mm] \integral_{-1}^{1}{p(x) *q(x) dx} [/mm] ist ein unitärer Raum |
<p,q>= [mm] \integral_{-1}^{1}{p(x) *q(x) dx} [/mm] ist dann ein unitärer Raum wenn C[-1,1]= {p,p stetig auf [-1,1]}
wie zeige ich so etwas?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Di 25.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Hey!
Das kommt ein bisschen darauf an, was du schon an Mitteln zur Verfügung hast.
Ein unitärer Raum ist ein Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist.
Also musst du eigentlich zeigen, dass die Menge [mm] \IP_{n}^\IR [/mm] der reellen Polynome vom Grad kleiner gleich [mm] n\in\IN [/mm] (so müsste es eigentlich heißen schätze ich) ein Vektorraum ist und dass dieses Integral überhaupt ein Skalarprodukt für diesen Vektorraum darstellt.
Grüße!
skoopa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Di 25.01.2011 | | Autor: | mathfrag |
Hey...
danke für die schnelle Anwort...
leider verstehe ich nich ganz wie ich das zeigen soll. Wie kann ich zeigen, dass dieses Integral überhaupt ein Skalarprodukt für diesen Vektorraum darstellt. Kann ich für p(x) bzw q(x) etwas einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Di 25.01.2011 | | Autor: | skoopa |
> Hey...
>
> danke für die schnelle Anwort...
>
> leider verstehe ich nich ganz wie ich das zeigen soll. Wie
> kann ich zeigen, dass dieses Integral überhaupt ein
> Skalarprodukt für diesen Vektorraum darstellt. Kann ich
> für p(x) bzw q(x) etwas einsetzen?
Du musst die Eigenschaften für das Skalarprodukt nachrechnen.
Also du musst nachrechnen, dass die in der Aufgabe definierte Abbildung
1. bilinear
2. symmetrisch
3. positiv definit
ist.
Bilinear ist sie, wenn mit [mm] \alpha\in\IR [/mm] und [mm] f,g,h\in\IP_{n}^{\IR} [/mm] gilt:
[mm] (\alpha*f+g, h)=\alpha*(f,h)+(g,h).
[/mm]
Symmetrisch, wenn (f,g)=(g,f).
Positiv definit, wenn (f,f)>0 falls f nicht die Nullfunktion ist.
Diese Eigenschaften musst du einfach nachrechnen.
Grüße!
skoopa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Di 25.01.2011 | | Autor: | mathfrag |
symmetrie
<p,q>=<q,p>
<p,q> = [mm] \integral_{-1}^{1}{p(x)*q(x) dx}= \integral_{-1}^{1}{q(x)*p(x) dx}= [/mm] <q,p>
da p(X) und g(x) e R können sie aufgrund des kommutativgesetzes, welches in R gilt einfach vertausch werden
Billinear....
da hänge ich
positiv definit
<p,p> >0 wenn p [mm] \not= [/mm] 0
<p,p> = [mm] \integral_{-1}^{1}{p(x)*p(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{p(x)x^{2} dx}
[/mm]
das quadrat liefert im reellen immer einen positiven Ausdruck, also ist <f,f> >o falls f nicht die Nullfunktion ist (ist nach def. der positiv Def. ausgechlossen)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Di 25.01.2011 | | Autor: | skoopa |
> symmetrie
> <p,q>=<q,p>
>
> <p,q> = [mm]\integral_{-1}^{1}{p(x)*q(x) dx}= \integral_{-1}^{1}{q(x)*p(x) dx}=[/mm]
> <q,p>
>
> da p(X) und g(x) e R können sie aufgrund des
> kommutativgesetzes, welches in R gilt einfach vertausch
> werden
Genau!
>
> Billinear....
> da hänge ich
Ich hab auch vorhin die Definition etwas verkürzt geschrieben...Ups 
Aber auch hier kannst du es gleich machen wie bei den anderen Eigenschaften einfach einsetzen.
Du willst also zeigen, dass mit Polynomen f,g,h und [mm] \alpha,\beta\in\IR [/mm] gilt:
[mm] \integral_{-1}^{1}{(\alpha*f+\beta*g)(x)*h(x) dx}=\alpha\integral_{-1}^{1}{f(x)*h(x) dx}+\beta\integral_{-1}^{1}{g(x)*h(x) dx}.
[/mm]
Das schaffst du dadurch, dass du im Integranden das h(x) einfach in die Klammer hineinmultiplizieren kannst. Dann nutzt du die Linearität des Riemann-Integrals und machst aus dem Ganzen zwei Integrale. Und die Konstanten [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] kannst du dann einfach auch wegen der Linearität des R-Integrals rausziehen. Et voilá!
>
> positiv definit
>
> <p,p> >0 wenn p [mm]\not=[/mm] 0
> <p,p> = [mm]\integral_{-1}^{1}{p(x)*p(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{-1}^{1}{p(x)x^{2} dx}[/mm]
Das stimmt nicht ganz. Das letzte Integral müsste [mm] \integral_{-1}^{1}{p(x)^{2} dx} [/mm] lauten. Aber der Rest des Argumentes stimmt dann wieder.
>
> das quadrat liefert im reellen immer einen positiven
> Ausdruck, also ist <f,f> >o falls f nicht die Nullfunktion
> ist (ist nach def. der positiv Def. ausgechlossen)
Grüße!
skoopa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Mi 26.01.2011 | | Autor: | mathfrag |
gut... wie zeige ich nun das die menge P der reelen Polynome vom Grad >= n sind?
Ist es ok wenn ich so beginne:
P(x)= [mm] \summe_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}= a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{o}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Mi 26.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> gut... wie zeige ich nun das die menge P der reelen
> Polynome vom Grad >= n sind?
Das ist doch Quatsch ! P ist die Menge aller reellen Polynome !
>
> Ist es ok wenn ich so beginne:
>
> P(x)= [mm]\summe_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}= a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{o}[/mm]
Nein.
Zeige:
1. bilinear:
[mm] \langle p+q,r\rangle=\langle p,r\rangle+\langle q,r\rangle
[/mm]
[mm] \langle p,q+r\rangle=\langle p,q\rangle+\langle p,r\rangle
[/mm]
[mm] \langle p,\lambda q\rangle=\lambda\langle p,q\rangle=\langle\lambda p,p\rangle
[/mm]
2. symmetrisch: [mm] \langle p,q\rangle=\langle q,p\rangle
[/mm]
3. positiv definit: [mm] \langle p,p\rangle\geq0, [/mm] und [mm] \langle p,p\rangle=0 [/mm] genau dann, wenn p = 0 (Nullpolynom)
Dafür benötigst Du nur elementare Eigenschaften des Integrals
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Mi 26.01.2011 | | Autor: | mathfrag |
Symmetrie, billinearität, positiv def. habe ich in Verbindung mit dem Integral bereits gezeigt (um zu zeigen dass es ein skalarprodukt ist).ich dachte ich muss nun zeigen dass die Menge P der Polynome mit dem skalarprodukt <p,q> ein unitäerer raum ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Mi 26.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Symmetrie, billinearität, positiv def. habe ich in
> Verbindung mit dem Integral bereits gezeigt (um zu zeigen
> dass es ein skalarprodukt ist).ich dachte ich muss nun
> zeigen dass die Menge P der Polynome mit dem skalarprodukt
> <p,q> ein unitäerer raum ist.
Hä ? Was willst Du denn dann noch zeigen ?
FRED
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Hallo,
daß die Polynome einen VR bilden, brauchst Du nicht zu zeigen:
es ist in der Vorlesung längst gezeigt worden, daß das der Fall ist und man geht davon aus, daß jeder halbwegs informierte Student das weiß.<p,q>
Wenn Du das jetzt in der HÜ beweist, dann machst Du Dich verdächtig...
(Offenbar ist einiges an Dir vorbeigerauscht, und es wäre sicher klug, wenn Du Dir den Beweis im Skript mal anschauen oder ihn für Dich selber führen würdest.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 Mi 26.01.2011 | | Autor: | mathfrag |
Danke ... Ja werde wohl einiges nachrechnen/nachvollziehen müssen :( Vielen Dank
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