unterraum nachprüfen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Sa 27.03.2010 | | Autor: | s-jojo |
| Aufgabe 1 | [mm] \IR-Vektorraum \IR^{\IR}=Abb(\IR,\IR)
[/mm]
[mm] T_{1}=\{f|f(1)=1\}
[/mm]
bildet die Teilmenge einen Unterraum? |
| Aufgabe 2 | [mm] T_{2}=\{f|f(x)=f(-x)\forall x\in\IR\}
[/mm]
Unterraum oder nicht? |
Hey,
zu Aufgabe 1:
ich hab den "Beweis" jetzt so aufgeschrieben:
[mm] (f+g)(1)=1\not=2=f(1)+g(1),
[/mm]
aber die "Musterlösung" war [mm] (f+g)(1)=f(1)+g(1)=1+1=2\not=1
[/mm]
Was ich nicht ganz verstehe: Ist (f+g)(1)=1 oder =2?
Ich hab mir gedacht, dass ich ja in der Def. [mm] T_{1}=\{f|f(1)=1\} [/mm]
dieses f durch (f+g) ersetze, sodass immer noch 1 rauskommt...
zu Aufgabe 2:
Ist es richtig, wenn ich den Beweis (Axiome für Untervektorräume prüfen) so mache?
1.(f+g)(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)=(f+g)(-x)
2. a*f(x)=a*f(-x) (? ist das nicht zu einfach gemacht?!)
Lg
s-jojo
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:29 Sa 27.03.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
h> [mm]\IR-Vektorraum \IR^{\IR}=Abb(\IR,\IR)[/mm]
>
> [mm]T_{1}=\{f|f(1)=1\}[/mm]
>
> bildet die Teilmenge einen Unterraum?
> [mm]T_{2}=\{f|f(x)=f(-x)\forall x\in\IR\}[/mm]
>
> Unterraum oder nicht?
> Hey,
>
> zu Aufgabe 1:
> ich hab den "Beweis" jetzt so aufgeschrieben:
> [mm](f+g)(1)=1\not=2=f(1)+g(1),[/mm]
>
> aber die "Musterlösung" war
> [mm](f+g)(1)=f(1)+g(1)=1+1=2\not=1[/mm]
>
> Was ich nicht ganz verstehe: Ist (f+g)(1)=1 oder =2?
Es ist (f+g)(1) = 2
> Ich hab mir gedacht, dass ich ja in der Def.
> [mm]T_{1}=\{f|f(1)=1\}[/mm]
> dieses f durch (f+g) ersetze, sodass immer noch 1
> rauskommt...
>
Joa, aber die Elemente aus [mm] T_{1} [/mm] sind ja f(x) und g(x), das heisst für die muss separat gelten f(1) = 1 und g(1) = 1, damit sie überhaupt dort drin sind. Daraus folgt (f+g)(1) = f(1)+g(1) = 1+1 = 2.
> zu Aufgabe 2:
> Ist es richtig, wenn ich den Beweis (Axiome für
> Untervektorräume prüfen) so mache?
>
> 1.(f+g)(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)=(f+g)(-x)
> 2. a*f(x)=a*f(-x) (? ist das nicht zu einfach gemacht?!)
>
Es handelt sich um lineare Funktionen.. ich würde den zweiten Teil wohl etwa so schreiben:
f(ax) = af(x) = af(-x) = f(-ax)
>
> Lg
> s-jojo
>
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 05:20 So 28.03.2010 | | Autor: | angela.h.b. |
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> > zu Aufgabe 2:
> > Ist es richtig, wenn ich den Beweis (Axiome für
> > Untervektorräume prüfen) so mache?
> >
> > 1.(f+g)(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)=(f+g)(-x)
> > 2. a*f(x)=a*f(-x) (? ist das nicht zu einfach
> gemacht?!)
> >
>
> Es handelt sich um lineare Funktionen.. ich würde den
> zweiten Teil wohl etwa so schreiben:
>
> f(ax) = af(x) = af(-x) = f(-ax)
Hallo,
es geht nicht darum, ob f(ax)=f(-ax) ist,
und es ist auch nicht die Rede davon, daß es sich um lineare Funktionen handelt, also solche bei denen u.a. f(ax)=af(x) gilt.
Sondern es geht darum, ob für jedes [mm] a\in \IR [/mm] und jedes f [mm] \in T_2 [/mm] die Funktion [mm] (a\*f) [/mm] in der Menge [mm] T_2 [/mm] liegt.
Dies findet man heraus, indem man prüft, ob (a*f)(x)=(a*f)(-x) ist.
Um dies zu tun, muß man die Definition des Produktes von reellen Zahlen mit Abbildungen verwenden.
Gruß v. Angela
>
> >
> > Lg
> > s-jojo
> >
>
> Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:40 So 28.03.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Entschuldige, Angela, und natürlich auch entschuldigung s-jojo. Ich habe da wohl zu wenig nachgedacht.. ^^
Grüsse, Amaro
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> [mm]\IR-Vektorraum \IR^{\IR}=Abb(\IR,\IR)[/mm]
>
> [mm]T_{1}=\{f|f(1)=1\}[/mm]
>
> bildet die Teilmenge einen Unterraum?
> [mm]T_{2}=\{f|f(x)=f(-x)\forall x\in\IR\}[/mm]
>
> Unterraum oder nicht?
> Hey,
>
> zu Aufgabe 1:
> ich hab den "Beweis" jetzt so aufgeschrieben:
> [mm](f+g)(1)=1\not=2=f(1)+g(1),[/mm]
>
> aber die "Musterlösung" war
> [mm](f+g)(1)=f(1)+g(1)=1+1=2\not=1[/mm]
>
> Was ich nicht ganz verstehe: Ist (f+g)(1)=1 oder =2?
> Ich hab mir gedacht, dass ich ja in der Def.
> [mm]T_{1}=\{f|f(1)=1\}[/mm]
> dieses f durch (f+g) ersetze, sodass immer noch 1
> rauskommt...
Hallo,
die Verknüpfungen in [mm] Abb(\IR, \IR) [/mm] sind klar?
Ich hatte Dich gestern an anderer Stelle auf diese hingewiesen - und hier sind sie schon.
Nochmal ein bißchen was vorweg:
der Deutlichheit halber bezeichne ich hier die Addition von Elementen aus [mm] Abb(\IR, \IR) [/mm] mit [mm] \oplus, [/mm] die Multiplikation von Skalaren mit Elementen aus [mm] Abb(\IR, \IR) [/mm] als [mm] \odot.
[/mm]
Ich tue dies, um sie von der Addition und Multiplikation im Körper [mm] \IR [/mm] zu unterscheiden - und auch Du solltest Dir stets klar machen, ob Du gerade in [mm] Abb(\IR, \IR) [/mm] oder in [mm] \IR [/mm] rumwurschtest - auch wenn Du dasselbe Zeichen für beides verwendest.
Es ist übrigens ein wichtiger Unterschied zwischen f und f(x): f [mm] \in Abb(\IR, \IR) [/mm] , und [mm] f(x)\in \IR.
[/mm]
Zu prüfen sind also die drei Unterraumkriterien, Du interessierst Dich gerade für das zweite, dafür, ob die Summe zweier Elemente aus [mm] T_1 [/mm] auch wieder in [mm] T_1 [/mm] liegt, ob also
[mm] f,g\in T_1 [/mm] ==> [mm] f\oplus [/mm] g [mm] \in T_1 [/mm]
richtig ist.
Seien also [mm] f,g\in T_1.
[/mm]
Wie bekommt man heraus, ob [mm] f\oplus [/mm] g [mm] \in T_1? [/mm]
Indem man prüft, ob [mm] (f\oplus [/mm] g)(1)=1 richtig ist.
Also ist (f [mm] \oplus [/mm] g)(1) zu berechnen:
(f [mm] \oplus [/mm] g)(1)= f(1) + g(1) [mm] \qquad [/mm] (warum?)
=1+1=2
Es ist also [mm] (f\oplus g)(1)\not=1, [/mm] und somit ist [mm] f\oplus [/mm] g [mm] \not\in T_1.
[/mm]
Dies sind die Überlegungen, die man hier anstellen muß, und der Extrakt dieser Überlegungen ist die Dir vorliegende Musterlösung.
Dein Beweis ist, obgleich er alle Zutaten der Musterlösung enthält und ihr sehr ähnlich sieht, komplett falsch, und Du siehst, daß er mit ein paar erklärenden Worten komplett richtig gewesen wäre.
Tip: mehr schreiben. Alle Begründungen nicht nur überlegen, sondern hinschreiben.
Man merkt dann besser, wenn irgendwas nicht schlüssig ist.
Stell Dir vor, daß jemand neben dir sitzt und bei allem, was Du tust, fragt: "Warum".
> zu Aufgabe 2:
> Ist es richtig, wenn ich den Beweis (Axiome für
> Untervektorräume prüfen) so mache?
>
> 1.(f+g)(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)=(f+g)(-x)
> 2. a*f(x)=a*f(-x) (? ist das nicht zu einfach gemacht?!)
Das ist nicht zu einfach, es ist unvollständig.
Zu prüfen ist, ob für alle [mm] a\in \IR [/mm] und für alle [mm] f\in T_2 [/mm] gilt [mm] a\odot [/mm] f [mm] \in T_2.Quelltext
[/mm]
Hierfür ist zu untersuchen, ob [mm] (a\odot f)(x)=(a\odot [/mm] f)(-x) richtig ist für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
Dies rechnen wir nun nach: sei [mm] a\in \IR [/mm] und [mm] f\in T_2.
[/mm]
Für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt
[mm] (a\odot [/mm] f)(x)=a*f(x) [mm] \qquad [/mm] ( Grund?)
=a* f(-x) [mm] \qquad [/mm] (Grund?)
[mm] =(a\odot [/mm] f)(-x) (Grund?)
Gruß v. Angela
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> Lg
> s-jojo
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