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gegeben sei U { [mm] (0,a,a+b)^T [/mm] | a,b [mm] \in \IR [/mm] } [mm] \subseteq \IR [/mm] ^3
Zeigen Sie dass U ein Untervektorraum des [mm] \IR^3 [/mm] ist.
U ist schonmal nicht leer da es 0 als Vektor enthält.
Jetzt müsste man die Abgeschlossenheit bezüglich der Linearkombination zeigen:
a+ [mm] \lambda [/mm] y [mm] \in \IR [/mm] ... so wie mach ich das jetzt aber...
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> gegeben sei U [mm] =$\{ (0,a,a+b)^T | a,b\in \IR\}[/mm] [mm][mm] \subseteq \IR$
[/mm]
> ^3
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> Zeigen Sie dass U ein Untervektorraum des [mm]\IR^3[/mm] ist.
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> U ist schonmal nicht leer da es 0 als Vektor enthält.
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> Jetzt müsste man die Abgeschlossenheit bezüglich der
> Linearkombination zeigen:
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> a+ [mm]\lambda[/mm] y [mm]\in \IR[/mm] ... so wie mach ich das jetzt aber...
Moin,
jeder Vektor v=(0, a, a+b) von U mit a, [mm] b\in\IR [/mm] lässt sich zerlegen in [mm] v=a(0,1,1)^T+b(0,0,1)^T, [/mm] ist also eine Linearkombination dieser beiden linear unabhängigen Vektoren [mm] b_1,b_2. [/mm] Es kommen auch alle Linearkombinationen vor, da [mm] a,b\in\IR [/mm] alle zulässig. Somit ist U der Spann dieser beiden Vektoren aus [mm] \IR. [/mm] Jeder Spann aus Vektoren eines Raums ist jedoch ein Untervektorraum dieses Raums, wie man leicht nachprüfen kann.
Man kann selbstverständlich auch die Unterraumbedingungen direkt prüfen.
Gruß
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hmm und wie kann ich jetzt alle vektoren in dem unterraum u durch entsprechende Komponenten ersetzen? :S
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Hallo Jessica,
rechne die Kriterien gerade zu Beginn lieber direkt nach!
Teile vllt. einfacher auf in
2) [mm]\vec x,\vec y\in U \ \Rightarrow \ \vec x + \vec y\in U[/mm]
3) [mm]\lambda\in\IR, \vec x\in U \ \Rightarrow \lambda\cdot{}\vec x\in U[/mm]
zu2):
Nimm dir zwei bel. Vektoren [mm]\vec x,\vec y\in U[/mm] her.
Dann ist [mm]\vec x=(0,a,a+b)^T[/mm] und [mm]\vec y=(0,c,c+d)^T[/mm] mit [mm]a,b,c,d\in\IR[/mm]
Dann ist [mm]\vec x+\vec y=(0,a+c,a+b+c+d)^T=(0,a+c,(a+c)+(b+d))^T[/mm]
Und ist dieses Biest in U?
Ganz ähnlich für 3)
Gruß
schachuzipus
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wenn x und y in U ist dann ist x+y auch in U
so zu 2.
[mm] \lambda \vektor{0 \\ a \\ a+b}
[/mm]
so und jetzt :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 So 13.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum rechnest dus nicht einfach aus und stellst fest ob es in U liegt?
Gruss leduart
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soll ich mir irgendwelche zahlenwerte vorgeben?
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> soll ich mir irgendwelche zahlenwerte vorgeben?
Nein. Das reicht leider nicht. Schau dir doch die Beiträge noch einmal genau an:
>> schachuzipus:
>> [mm] \vec x+\vec y=(0,a+c,a+b+c+d)^T=(0,\blue{a+c},\green{(a+c)+(b+d)})^T [/mm]
>> Dein UVR:
>> [mm]U =\{ (0,\blue{a},\green{a+b})^T | a,b \in \IR \} \subseteq \IR ^3 [/mm]
Fällt dir da nichts auf?
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es kamen faktoren hinzu und nu :(
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[mm] \vec x+\vec y=(0,a+c,a+b+c+d)^T=(0,\blue{a+c},\green{(a+c)+(b+d)})^T [/mm]
Setze $a':=a+c$ und $b':=b+d$. Liegt das "Biest" nun in U?
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