www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Gleichungssysteme" - untypische LGS
untypische LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

untypische LGS: wie mit umgehen?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:28 So 01.07.2007
Autor: Max80

Hallo zusammen!

Ich habe mich ein wenig eingeübt, ein LGS zu lösen. Wenn das sauber aufgeht, dann klappts eigentlich auch immer. Aber ich habe noch Probleme damit, wenn es keine eindeutige Lösung gibt. Noch dazu muss ich in der kommenden Klausur immer die Lösung angeben...

Also mal zusammen gefasst:
Entweder gibt es EINE Lösung (der für mich angenehmste fall),
oder es gibt KEINE Lösung (wie geht man damit um?)
oder es gibt UNENDLICH Lösungen (habe so einen Fall scheinbar hier, und weiß nicht weiter...).

Hier also mal ein Beispiel für ein LGS mit unendlich Lösungen:
(ich verwende immer die matrizen, finde das einfacher. zählt das übrigens auch als gauss-jordan-algorithmus, wenn der in der klausur verlangt wird?)

[mm] \pmat{ 2 & 1 & -1 & 0 | 4 \\ 2 & 2 & -1 & 1 | 6 \\ -2 & 0 & 1 & 1 | -2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 | 4} [/mm]

nun mein versuch das zu lösen:

[mm] \pmat{ 2 & 1 & -1 & 0 | 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 | 2 \\ -2 & 0 & 1 & 1 | -2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 | 4} [/mm]
(II)=(II)-(I)

[mm] \pmat{ 2 & 1 & -1 & 0 | 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 | 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 | 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 | 4} [/mm]
(III)=(III)+(I)

[mm] \pmat{ 2 & 1 & -1 & 0 | 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 | 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 | 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 | 4} [/mm]
(III)=(III)-(II)

[mm] \pmat{ 2 & 1 & -1 & 0 | 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 | 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 | 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 | 0} [/mm]
(III) und (IV) getauscht

und nun???
Wie sieht die Lösungsmenge aus? Ich habe bissi gegooglelt, aber überall ist es anders...
Unser Dozent hat danach auch noch irgendwas mit nem Lambda [mm] (\lambda) [/mm]
angeschrieben, aber ich habe davon leider nichts verstanden und leider nicht abgeschrieben. Was ich noch weiß ist, dass er meinte man könnte sich ab hier dann aussuchen was man nimmt. Nehmen wofür?? Für die Nullzeile?? Ich weiß grad leider nicht, wie man mit so ner Nullzeile umgeht. Ich werd mal schauen ob ich auch noch ein LGS mit KEINER Lösung finde.

trotzdem erstmal danke!!!
Gruß
Bunti

        
Bezug
untypische LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:18 So 01.07.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Bunti,

zur ersten Frage: Der Algo ist unter dem Namen Gauß-Jordan Algo bekannt oder unter Gauß'sches Eliminationsverfahren

zu der Lösungsfrage:

Ich hab die Umformungen nicht nachgerechnet, also gehen wir davon aus, dass die letzte Matrix mit der Nullzeile stimmt ;-)

Die Matrix repräsentiert ja ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen in 4 Unbekannten.

Da die letzte Zeile eine Nullzeile ist, also die Gleichung 0=0 darstellt, die für alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt - ist ja unabhängig von jeglicher Variable, hast du effektiv 3 Gleichungen in 4 Unbekannten.

Damit hast du eine frei wählbare.

Setzen wir zB. [mm] x_3:=t [/mm] mit [mm] t\in \IR [/mm] (oder [mm] \lambda [/mm] mit [mm] \lambda\in\IR [/mm] - wenn's nach deinem Prof geht ;-))

In der 3.Zeile steht die Gleichung [mm] 2x_4=4, [/mm] also [mm] x_4=2 [/mm]

Damit steht in der 2.Zeile [mm] 1\cdot{}x_2+1\cdot{}x_4=2, [/mm] also [mm] x_2=2-2=0 [/mm]

Und schließlich in Zeile 1: [mm] 2x_1+1\cdot{}x_2-1\cdot{}x_3=4, [/mm] also [mm] 2x_1=4+t\Rightarrow x_1=2+\frac{t}{2} [/mm]

Damit ist ein Lösungsvektor von der Gestalt

[mm] x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{2+\frac{t}{2}\\0\\t\\2}=\vektor{2\\0\\0\\2}+\vektor{\frac{t}{2}\\0\\t\\0}=\vektor{2\\0\\0\\2}+t\cdot{}\vektor{\frac{1}{2}\\0\\1\\0} [/mm] mit [mm] t\in\IR [/mm]

Also ist die Lösungsgesamtheit die Menge [mm] \{\vektor{2\\0\\0\\2}+t\cdot{}\vektor{\frac{1}{2}\\0\\1\\0}\mid t\in\IR\} [/mm]

Etwas zum Theoretischen noch, wenn's dich interessiert:

Die Lösungsgesamtheit eines inhomogenen LGS setzt sich zusammen aus der Gesamtheit der Lösungen des [mm] \underline{homogenen} [/mm] LGS, also für [mm] A\cdot{}x=0. [/mm]

Das sind hier unsere Vektoren [mm] t\cdot{}\vektor{\frac{1}{2}\\0\\1\\0} [/mm] mit [mm] t\in\IR [/mm]

UND

[mm] \underline{\text{einer speziellen}} [/mm] Lösung des [mm] \underline{inhomogenen} [/mm] LGS - (Ax=b - quasi das Ausgangs-LGS)

Das ist hier der Vektor [mm] \vektor{2\\0\\0\\2} [/mm]

Der Lösungsraum ist also ein affiner Vektorraum

PS: An der Gestalt der Lösungsgesamtheit kannst du auch sehen, dass das inhomogene LGS dann eine EINDEUTIGE Lösung hat, wenn das zugehörige homogene LGS nur die triviale Lösung 0 hat.


Hoffe, das hilft dir etwas weiter


Gruß

schachuzipus

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de