v (x + y) = v (x) + v (y ) ? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Status: |
(Frage) beantwortet | Datum: | 10:38 Do 25.06.2009 | Autor: | schmok |
Aufgabe | Zeigen Sie, dass für stochastisch unabhängige Zufallsvariablen X und Y die
Gleichung V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) gilt. |
Hallo, ich bin neu hier. Könnt ihr mir bitte bei folgender Aufgaben weiter helfen? Wäre echt nett.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße vom Schmok
|
|
|
|
Ich gehe davon aus, dass V keine beliebige Funktion, sondern die Varianz der ZV ist, während E den Erwartungswert der ZV angibt und Cov die Kovarianz zwischen X und Y.
Dann ist gem. dem Satz von Steiner:
V(x) = [mm] E(x^{2}) [/mm] - [mm] [E(x)]^{2} [/mm] (1)
V(y) = [mm] E(y^{2}) [/mm] - [mm] [E(y)]^{2} [/mm] (2)
Cov (x,y) = E(xy) - E(x)*E(y) (3)
nun lässt sich wg. E(x+y) = E(x) + E(y) herleiten:
V(x+y)
= [mm] E[(x+y)^{2}] [/mm] - [mm] [E(x+y)]^{2} [/mm]
= [mm] E[x^{2} [/mm] + 2xy + [mm] y^{2}] [/mm] - [E(x) + [mm] E(y)]^{2} [/mm]
= [mm] E[x^{2} [/mm] + 2xy + [mm] y^{2}] [/mm] - [mm] [E(x)^{2} [/mm] + 2E(x)E(y) + [mm] E(y)^{2}] [/mm]
= [mm] E(x^{2}) [/mm] + 2E(xy) + [mm] E(y^{2}) [/mm] - [mm] E(x)^{2} [/mm] - 2E(x)E(y) - [mm] E(y)^{2}
[/mm]
Bei Substitution mit (1), (2) und (3) fällt auf, dass sich dieser Ausdruck auch schreiben lässt als:
V(x+y) = V(x) + V(y) + 2*Cov(x,y)
Bei Unabhängigkeit gilt jedoch: E(xy) = E(x)*E(y) und somit Cov(x,y) = 0.
Daraus folgt, dass bei Unabhängigkeit der ZV x und y gilt:
V(x+y) = V(x) + V(y).
Ich hoffe ich konnte Dir weiter helfen.
|
|
|
|