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| Aufgabe | Gesucht: DIe Gleichung f(x,y,z)=0, so dass [mm] v^{T}=(x,y,z) [/mm] ="Element aus " span [mm] {v_{1},v_{2}} [/mm] genau für die (x,y,z) gilt, für die diese Gleichung erfüllt ist.
Lösung: 5x-y-3z= f(x.y.z) |
Hallo,
cih weiß nicht, wie ich das machen soll:
Also, prinzipiell sind mir die Eigenschaften, die v haben muss, ja klar, aber ich weiß nicht, wie "verpacken":
v ist also durch linearkombi aus v1 und v2 darstellbar (weil gleichung =0), also hätte ich gerne ein GLS gebildet (zeilenweise), d.h. aus 3 gleichungen besteht. aber iwie ist mir nicht ganz klar:
schreibe ich
a1*v= b*v1+c*v2 oder v=b*v1+c*v2....? mit a,b,c, sind zu bestimmende koeffizienten (dann entsprechend zweilenweise die geg. vektorwerte eingetragen, bei v würde ich statt geg. zahlen x,y,z eintragen) und dann?!habe auch iwo den ansatz gelesen (allerdings waren 3 vektoren gegeben für R3), statt a,b,c dann x,y,z als Koeff. zu nehmen, aber wie soll das hier gehen, wo doch nur 2 vektoren gegeben?
keiner der ansätze bringt mich weiter, obwohl es vom grundgedanken nicht so falsch sein kann.
ich weiß, man kann beim 3dimensionalen Raum so vorgehen: Kreuzprodukt aus den zwei Vektoren v1 und v2 -->Ergibt NOrmalenvektor "n"der enstsprechenden Ebene und dann die Form [mm] n\circ[v_1-v]=0, [/mm] wobei [mm] v_1 [/mm] auch [mm] v_2 [/mm] hätte sein können. aber wie mache ich das denn, wenn ich das per linearkombiansatz machen möchte (weil bei vektorenräumen >R3 geht das mit dem kreuzprodukt ja nicht, oder wenn nur zwei vektoren gegeben, es aber R3 ist, so wie im Beispiel?), also allgemein?
wie lautet also der Ansatz?
für jede hilfe dankbar,
LZ
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:49 Sa 13.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gesucht: DIe Gleichung f(x,y,z)=0, so dass [mm]v^{T}=(x,y,z)[/mm]
> ="Element aus " span [mm]{v_{1},v_{2}}[/mm] genau für die (x,y,z)
> gilt, für die diese Gleichung erfüllt ist.
> Lösung: 5x-y-3z= f(x.y.z)
>
> Hallo,
> cih weiß nicht, wie ich das machen soll:
> Also, prinzipiell sind mir die Eigenschaften, die v haben
> muss, ja klar, aber ich weiß nicht, wie "verpacken":
> v ist also durch linearkombi aus v1 und v2 darstellbar
> (weil gleichung =0), also hätte ich gerne ein GLS gebildet
> (zeilenweise), d.h. aus 3 gleichungen besteht. aber iwie
> ist mir nicht ganz klar:
> schreibe ich
> a1*v= b*v1+c*v2 oder v=b*v1+c*v2....? mit a,b,c, sind zu
Was genau willst du hier tun?!
Ich glaube, du denkst viel zu kompliziert.
Schau dir mal so eine allgemeine Gleichung $a x + b y + c z = 0$ an. Wenn nicht alle Koeffizienten $a, b, c$ gleich 0 sind, dann ist die Loesungsmenge ein zweidimensionaler Untervektorraum vom [mm] $\IR^3$ [/mm] (also eine Ebene durch den Nullpunkt).
Du willst jetzt $a, b, c$ so bestimmen, dass diese Loesungsmenge genau der von [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] erzeugte Untervektorraum ist.
Wenn [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] linear abhaengig sind, hat dieser UVR die Dimension 1, kann also niemals genau die Loesungsmenge sein. Du brauchst dann zwei Gleichungen.
Hier scheint es aber so, dass [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] linear unabhaengig sind, d.h. dass der Spann von ihnen zweidimensional ist. In diesem Fall gilt: ein zweidimensionaler UVR von [mm] $\IR^3$ [/mm] enthaelt genau dann [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$, [/mm] wenn er bereits der Spann von den beiden ist. (Mach dir klar warum das so ist!)
Also suchst du eine Gleichung $a x + b x + c z = 0$, welche fuer $(x, y, z) = [mm] v_1$ [/mm] und $(x, y, z) = [mm] v_2$ [/mm] erfuellt ist. Schreibst du diese beiden auf, erhaelst du ein lineares Gleichungssystem in $a, b, c$ mit zwei Gleichungen. Da [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] linear unabhaengig sind, ist der Loesungsraum davon eindimensional, und jedes Loesungstupel $(a, b, c)$ welches nicht komplett 0 ist gibt eine gesuchte Gleichung $a x + b y + c z = 0$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Sa 13.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
achja, das mit dem kompliziert Denken passiert mir vorzugsweise, wenn/weil ich schnell in ein "schema f" verfalle....ich hatte hier z.b. auch ein GLS aufgestellt, aber wie gesagt dachte ich (nicht nach und) an
eine linearkombination aus 2 vektoren v1 und v2, die in summe mit jew. vorfaktoren dann v3 ergeben sollten...dabei hätte ich aber nat. viel zu viele unbekannte/koeff gehabt...und ging ja auch iwie an der aufgabenstellung vorbei
aber jetzt ist mir das klar....
vielen dank für's "Licht anmachen"...
LZ
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