vektoren..abhängigkeit.basen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:54 So 24.09.2006 | | Autor: | Kulli |
hey, bin grad dabei für ne klausur zu lernen und hab da noch ein paar fragen..
1.)
die afugabe war:
welche koordinaten haben die bildpunkte von A(2|0|0) B(-1|2|-1) C(-2|3|4) und D(3|4|-2) bei spiegelung a) an der x1x2-ebene b) an der x2x3-ebene c) and der x1x3-ebene?
die lösungen sind
a) A'(2|0|0) B'(-1|2|1) C'(-2|3|4) D'(3|4|2)
b) A''(-2|0|0) B''(1|2|-1) C''(2|3|4) D''(-3|4|-2)
c) A'''(2|0|0) B'''(-1|-2|-1) C'''(-2|-3|4) D'''(3|-4|-2)
aber ich versteh gar nicht wieso irgendwie.. kann mir das auch nicht bildlich vorstellen und so.. vll kann mir jemand erklären wieso zb bei a) nur das letzte vorzeichen getauscht wir dund so.. :-/
2. frage:
irgendwie hab ich nie aufgeschrieben wie man die unabhängigkeit bzw abhängigkeit bei 3 vektoren überprüft.. immer nur wies bei 2 is..
da mach ichs ja einfach so:
r * [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{b}
[/mm]
aber wie mach ichs bei 3 vektoren?
mach ich dann
r * [mm] \vec{a} [/mm] + s * [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{c}
[/mm]
oder wie??
wenns so ist... muss dann auch für r und s das gleiche ergebnis rauskommen ooooder ist das egal, hauptsache das gleichungssystem kommt auf?
so und als 3. hab ich einige fargen zum thema basen.
also ich war in der stunde als wirs durchgenommen haben nicht da aber ich hab versucht es mir selbst beizubringen und so verstanden, dass eine basis der raum ist den 2 bzw 3 vektoren einschließen.
und damit vektoren eine basis bilden müssen sie unabhängig sein.. also nicht als linerarkombinationen voneinander darstellbar sein. aber wieso weshalb warum versteh ich nicht.....
ich weiß dass vorallem 1 und 3 eher allgemeine fragen sind so aber hoffe jmd macht sich trotzdem die mühe mir zu helfen!!
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Vielleicht kannst du dir die Sache mit dem Spiegeln besser erklären, wenn du das zuerst einmal zweidimensional betrachtest. Nimm ein gewöhnliches [mm]xy[/mm]-Koordinatensystem und einen Punkt, z.B. [mm]A(-3|2)[/mm]. Und jetzt spiegelst du den an der [mm]x[/mm]-Achse. Wie ändern sich die Koordinaten? Dann spiegelst du ihn an der [mm]y[/mm]-Achse. Wie ändern sich jetzt die Koordinaten? Mache dir Skizzen und probiere es mit anderen Beispielen durch. Und dreidimensional geht das dann ganz entsprechend.
Drei dreidimensionale Vektoren sind linear unabhängig, wenn die aus ihnen aufgestellte Determinante ungleich 0 ist. Falls ihr keine Determinanten hattet, so mache den Ansatz
[mm]r \vec{a} + s \vec{b} + t \vec{c} = \vec{o}[/mm]
Diese Gleichung wird auf jeden Fall erfüllt, wenn alle Skalare [mm]r,s,t[/mm] gleich 0 sind. Man spricht von der trivialen Lösung. Linear unabhängig jedoch sind die Vektoren nur dann, wenn diese triviale Lösung die einzige Möglichkeit ist. Du mußt daher die Vektorgleichung in drei Koordinatengleichungen aufspalten. Das gibt dir ein homogenes lineares Gleichungssystem vom Typ 3×3. Wenn beim Lösen dieses Gleichungssystems nach dem Gaußschen Algorithmus eine Gleichung wegfällt, dann sind die Vektoren linear abhängig. Wenn jedoch keine Gleichung wegfällt, und sich als dann einzige Lösung [mm]r=s=t=0[/mm] ergibt, dann sind die Vektoren linear unabhängig.
Am besten rechnest du dir das an einem Beispiel durch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 So 24.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi Kulli!
> hey, bin grad dabei für ne klausur zu lernen und hab da
> noch ein paar fragen..
>
> 1.)
> die afugabe war:
> welche koordinaten haben die bildpunkte von A(2|0|0)
> B(-1|2|-1) C(-2|3|4) und D(3|4|-2) bei spiegelung a) an der
> x1x2-ebene b) an der x2x3-ebene c) and der x1x3-ebene?
>
> die lösungen sind
> a) A'(2|0|0) B'(-1|2|1) C'(-2|3|4) D'(3|4|2)
> b) A''(-2|0|0) B''(1|2|-1) C''(2|3|4) D''(-3|4|-2)
> c) A'''(2|0|0) B'''(-1|-2|-1) C'''(-2|-3|4) D'''(3|-4|-2)
>
> aber ich versteh gar nicht wieso irgendwie.. kann mir das
> auch nicht bildlich vorstellen und so.. vll kann mir jemand
> erklären wieso zb bei a) nur das letzte vorzeichen
> getauscht wir dund so.. :-/
da muss es C'(-2|3|-4) heißen. hast ein vorzeichen vergessen....
dass bei dieser aufgabe immer nur ein vorzeichen vertauscht wird, liegt an den spiegelebenen....
die a) kannst du dir so vorstellen: denk dir die tischplatte als [mm] x_1x_2-Ebene [/mm] und stell dir einen punkt vor, der z.b. 5cm darüber liegt. wenn du ihn jetzt an der "tischplatte" spiegelst, ist er 5cm unter der platte - der rest bleibt gleich.
> 2. frage:
> irgendwie hab ich nie aufgeschrieben wie man die
> unabhängigkeit bzw abhängigkeit bei 3 vektoren überprüft..
> immer nur wies bei 2 is..
> da mach ichs ja einfach so:
>
> r * [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vec{b}[/mm]
>
> aber wie mach ichs bei 3 vektoren?
>
> mach ich dann
>
> r * [mm]\vec{a}[/mm] + s * [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vec{c}[/mm]
> oder wie??
genau!
> wenns so ist... muss dann auch für r und s das gleiche
> ergebnis rauskommen ooooder ist das egal, hauptsache das
> gleichungssystem kommt auf?
nein, was für r und s rauskommt ist egal... hauptsache das gleichungssystem geht auf.
> so und als 3. hab ich einige fargen zum thema basen.
> also ich war in der stunde als wirs durchgenommen haben
> nicht da aber ich hab versucht es mir selbst beizubringen
> und so verstanden, dass eine basis der raum ist den 2 bzw 3
> vektoren einschließen.
> und damit vektoren eine basis bilden müssen sie unabhängig
> sein.. also nicht als linerarkombinationen voneinander
> darstellbar sein. aber wieso weshalb warum versteh ich
> nicht.....
der sinn einer basis ist, dass man durch linearkombinationen der basisvektoren jeden beliebigen punkt im raum erreichen kann.
im 2-dim. raum heißt das: die basisvektoren dürfen nicht auf einer geraden liegen (müssen also lin. unabh. sein), sonst kann man ja keinen punkt außerhalb der geraden erreichen...
im 3-dim. raum dürfen die basisvektoren nicht in einer ebene liegen. stell dir wieder die tischplatte vor: nimm 3 vektoren "auf der tischplatte" als "basis"... so wirst du durch linearkombination niemals einen punkt erreichen, der z.b. über dem tisch liegt...
soweit alles klar?
lieben gruß,
Fulla
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