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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Punkte A = (1,-2,1), B=(4,3,3), C= (3,4,2) und D= (0,-1,0) ein Parallelogramm ABCD (man beachte die Reihenfolge) bilden. Berechnen Sie den Schnittpunkt der Diagonalen. |
um zu zeigen, dass es ein parallelogramm ist, muss ich es zeichnen oder kann man das auch rechnerisch zeigen?
und schnittpunkt der diagonalen? diagonelen? mehrzahl? es gibt doch nur eine diagonale und wo soll die geschnitten sein?
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> Zeigen Sie, dass die Punkte A = (1,-2,1), B=(4,3,3), C=
> (3,4,2) und D= (0,-1,0) ein Parallelogramm ABCD (man
> beachte die Reihenfolge) bilden. Berechnen Sie den
> Schnittpunkt der Diagonalen.
> um zu zeigen, dass es ein parallelogramm ist, muss ich es
> zeichnen
Hallo,
ein Bildchen im Koordinatensystem wird da nicht reichen.
> oder kann man das auch rechnerisch zeigen?
Du wirst es sogar rechnerisch zeigen müssen.
Weißt Du denn, woran man merkt, daß ein Viereck ein Parallelogramm ist?
Genau diese Eigenschaften sind dann nachzuweisen.
> und schnittpunkt der diagonalen? diagonelen? mehrzahl? es
> gibt doch nur eine diagonale und wo soll die geschnitten
> sein?
Mal Dir mal ein Parallelogramm auf.
Verbinde die "schräg gegenüberliegenden" Ecken.
Dann hast Du die Diagonalen. Klar gibt es zwei: das Parallelogramm hat doch 4 Ecken.
Lg Angela
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ok man kann das parallelogramm dadurch beweisen:
AB(mit richtungspfeil -->)=CD(mit richtungspfeil -->)
reicht das als beweis?
und zur diagonale:
die diagonale ist ja eine gerade. um den schnittpunkt zu bestimmen, muss ich beide geraden gleichsetzen, aber wie bestimme ich die gerade?
ich könnte z.b. den betrag von A und B berechnen und dann über dan Pythagoras die diagonale bestimmen. aber wenn ich die länge der diagonale habe, wie bestimme ich dann den schnittpunkt?
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Hallo arbeitsamt,
> ok man kann das parallelogramm dadurch beweisen:
>
> AB(mit richtungspfeil -->)=CD(mit richtungspfeil -->)
>
> reicht das als beweis?
Im Prinzip ja, sofern alle vier Punkte voneinander verschieden sind.
Hier stimmt Deine Gleichung allerdings nicht, aber diese:
[mm] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}
[/mm]
> und zur diagonale:
>
> die diagonale ist ja eine gerade. um den schnittpunkt zu
> bestimmen, muss ich beide geraden gleichsetzen, aber wie
> bestimme ich die gerade?
Es gibt einen viel einfacheren Weg. Siehe unten.
> ich könnte z.b. den betrag von A und B berechnen und dann
> über dan Pythagoras die diagonale bestimmen. aber wenn ich
> die länge der diagonale habe, wie bestimme ich dann den
> schnittpunkt?
Die beiden Diagonalen sind hier [mm] \overline{AC} [/mm] und [mm] \overline{BD}. [/mm] Der Schnittpunkt teilt jede der beiden Diagonalen genau mittig. Daher gibt es eine ganz einfache Lösung mit Vektoren. Kommst Du drauf?
Mal Dir mal so ein (beliebiges) Parallelogramm auf und nenn die Eckpunkte umlaufend A,B,C,D. Dann zeichne die beiden Diagonalen ein.
Jetzt gibt es viele Wege zum Mittelpunkt. Zum Beispiel kann man von jeder Ecke aus eine halbe Diagonale weit gehen und ist schon da...
Grüße
reverend
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EDIT: meine erste frage hat sich erledigt
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> Die beiden Diagonalen sind hier [mm]\overline{AC}[/mm] und
> [mm]\overline{BD}.[/mm] Der Schnittpunkt teilt jede der beiden
> Diagonalen genau mittig. Daher gibt es eine ganz einfache
> Lösung mit Vektoren. Kommst Du drauf?
ich muss also nur die diagonale bestimmen und durch 2 teilen. ist das bei jedem körper so? (rechteick, viereck etc)
ist [mm] \overline{AC} [/mm] das selbe wie [mm] \overrightarrow{AC}?
[/mm]
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> EDIT: meine erste frage hat sich erledigt
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> >
> > Die beiden Diagonalen sind hier [mm]\overline{AC}[/mm] und
> > [mm]\overline{BD}.[/mm] Der Schnittpunkt teilt jede der beiden
> > Diagonalen genau mittig. Daher gibt es eine ganz einfache
> > Lösung mit Vektoren. Kommst Du drauf?
>
>
> ich muss also nur die diagonale bestimmen und durch 2
> teilen. ist das bei jedem körper so? (rechteick, viereck
> etc)
>
> ist [mm]\overline{AC}[/mm] das selbe wie [mm]\overrightarrow{AC}?[/mm]
>
Nein, nicht ganz. Die Bezeichnung [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] steht für den Vektor, dessen grafische Darstellung ein Pfeil von Punkt A bis Punkt C ist und den man als einen "typischen" Vektor mit drei Einträgen schreiben kann.
Die Schreibweise [mm]\overline{AC}[/mm] ist für mich nicht eindeutig, weil sie nach meinen Erfahrungen nicht überall einheitlich verwendet wird. Sie steht häufig für die STRECKE zwischen den Punkten A und C. Manchmal meint man damit auch die STRECKENLÄNGE der Strecke zwischen den Punkten A und C. Betreibt man Geometrie, meint man manchmal sogar die Gerade durch A und C (dann macht man für Halbgeraden und Strecken an einer bzw. beiden Seiten des Striches noch einen Querabschluss, glaube ich).
Der Unterschied ist also für die Mathematik wichtig, weil es zwei völlig verschiedene Objektarten sind (Strecke = geometrisches Gebilde, Vektor = Element eines Vektorraums). Für diese Aufgabenstellung hier spielt das m.E. aber keine Rolle.
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die diagonale ist also
[mm] \overrightarrow{AC}=\pmat{ 1 - 3 \\ -2 - 4 \\ 1 - 2}=\vektor{-2 \\ -6 \\ -1 }
[/mm]
schnittpunkt:
vektor{-2 [mm] \\ [/mm] -6 [mm] \\ [/mm] -1 }:2
= vektor{-1 [mm] \\ [/mm] -3 [mm] \\ [/mm] -0,5 }
wäre das so richtig?
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Hallo,
> die diagonale ist also
>
> [mm]\overrightarrow{AC}=\pmat{ 1 - 3 \\ -2 - 4 \\ 1 - 2}=\vektor{-2 \\ -6 \\ -1 }[/mm]
Du willst den Vektor [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] berechnen. Nun weißt du vermutlich:
[mm]\overrightarrow{AC} = C-A \Rightarrow [/mm] [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ 2} - \vektor{1 \\ -2 \\ 1} = \vektor{2 \\ 6 \\ 1}[/mm]
Ad Schnittpunkt:
Nun kennst du den Vektor [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] , berechne [mm] \overrightarrow{BD} = D-B [/mm]
Konstruiere damit zwei Geraden und schneide diese.
Beste Grüße
Thomas
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was meinst du genau mit schneiden? beide vektoren gleichsetzen?
[mm] \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD} [/mm]
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> was meinst du genau mit schneiden? beide vektoren
> gleichsetzen?
>
> [mm]\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}[/mm]
Nein ich habe mich unscharf ausgedrückt: du könntest Geraden konstruieren ( die Diagonalen ) und diese miteinander schneiden - zur Konstruktion der Geraden sind deine Vektoren aber sehr wichtig.
Du verifizierst damit unmittelbar :
[mm] \frac{1}{2}(A+C) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(B+D) [/mm] ist.
Gruß Thomas
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Es ist doch:
[mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 4 \\2} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ -2 \\1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 6 \\1}
[/mm]
und
[mm] \overrightarrow{BD} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1 \\0} [/mm] - [mm] \vektor{4 \\ 3 \\3} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ -4 \\-3}
[/mm]
Konstruiere die Geraden :
[mm]d_{1} = A + t*\overrightarrow{AC}[/mm]
und
[mm]d_{2} = B + s*\overrightarrow{BD}[/mm]
nun:
[mm] d_{1} [/mm] = [mm] d_{2}
[/mm]
Löse dieses Gleichungssystem.
Gruß Thomas
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