vektoren und geraden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Di 28.12.2004 | | Autor: | ghostdog |
ich habe noch ein problem mit vektoren und geraden
die aufgabe lautet geg.:sind die punkte:
A(1,1,0) und B(2,0,1) =die gerade [mm] g_{1}
[/mm]
[mm] g_{1}= \vektor{x \\ y\\z}=\vektor{1 \\ 1\\0}+ \gamma\vektor{1 \\ -1\\1}
[/mm]
gesucht ist gerade die [mm] g_{2}die [/mm] die gerade [mm] g_{1} [/mm] schneidet
die losund ist:
[mm] g_{2}= \vektor{x \\ y\\z}=A(1,1,0)+\mu\vektor{0 \\ -1\\1}
[/mm]
ist gleich:
[mm] g_{2}= \vektor{x \\ y\\z}=\vektor{1\\1\\0}+\mu\vektor{0 \\ -1\\1}
[/mm]
das sich die gerade [mm] g_{2} [/mm] aus den punkt A + irgent ein vektor egibt ist noch verstandlich aber wie komme ich auf den anderen teil der geradengleichung:
[mm] \mu\vektor{0 \\ -1\\1}
[/mm]
verstehe ich nicht?
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Hi ihr beiden,
ich frage mich grade ob es heissen soll : gesucht wird IRGENDEINE Grade [mm] g_{2} [/mm] die die Grade [mm] g_{1} [/mm] schneidet??? Denn dann wäre doch der Richtungsvektor egal da der Stützvektor doch automatisch, da er gleich ist auch Schnittpunkt der beiden Geraden wäre!!?? Oder sehe ich das falsch???
Mit denkendem Gruß
Hawk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Loddar |
> Hi ihr beiden,
> ich frage mich grade ob es heissen soll : gesucht wird
> IRGENDEINE Grade [mm]g_{2}[/mm] die die Grade [mm]g_{1}[/mm] schneidet???
Von DER Seite habe ich es noch gar nicht betrachtet - könnte aber hinhauen ...
> Denn dann wäre doch der Richtungsvektor egal da der
> Stützvektor doch automatisch, da er gleich ist auch
> Schnittpunkt der beiden Geraden wäre!!?? Oder sehe ich das
> falsch???
Naja, ganz egal ist der Richtungsvektor von [mm] $g_2$ [/mm] natürlich nicht.
Die beiden Richtungsvektoren von [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$ [/mm] müssen linear unabhängig sein, da sonst die beiden Geraden [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$ [/mm] identisch sind.
Und das würde ja der Aufgabenstellung widersprechen, wo es eindeitig "schneiden" heißt.
Loddar
Ups - hab' gerade erst gesehen, daß silkiway diesen Einwand bereits vorgebracht hat ... ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:15 Mi 29.12.2004 | | Autor: | silkiway |
>>
> A(1,1,0) und B(2,0,1) =die gerade [mm]g_{1}[/mm]
> >
> >[mm]g_1 : \vektor{x \\ y\\z} = \vektor{1 \\ 1\\0} + \gamma\vektor{1 \\ -1\\1}[/mm]
>
> gesucht ist gerade die [mm]g_2[/mm], die die gerade [mm]g_1[/mm]
> schneidet
>
> die Lösung ist:
> [mm]g_2 : \vektor{x \\ y\\z} = A(1,1,0) + \mu\vektor{0 \\ -1\\1}[/mm]
>
> ist gleich:
> [mm]g_2 : \vektor{x \\ y\\z} = \vektor{1\\1\\0} + \mu\vektor{0 \\ -1\\1}
[/mm]
>
>
> das sich die gerade [mm]g_{2}[/mm] aus den punkt A + irgent ein
>
> vektor egibt ist noch verstandlich aber wie komme ich auf
>
> den anderen teil der geradengleichung:
> [mm]\mu\vektor{0 \\ -1\\1}[/mm]
> verstehe ich nicht?
damit die Geraden sich schneiden, dürfen die Richtungsvektoren natürlich keine Vielfache von einander sein, sonst wären es ein und die gleiche. Da [mm] g_1 [/mm] den Richtungsvekor [mm] \vektor{1 \\ -1\\1} [/mm] und [mm] g_2 [/mm] den Richtungvektor [mm] \vektor{0 \\ -1\\1} [/mm] hat, können die beiden, da [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] gleich aber der [mm] x_1-Wert [/mm] anders ist, naturlich keine Vielfachen von einander sein.(Und [mm] \vektor{0 \\ -1\\1} [/mm] ist halt einer der einfachsten, von [mm] \vektor{1 \\ -1\\1} [/mm] linear unabhänigen (also kein Vielfaches), Richtungsvektoren die man wählen kann.)
Das wäre die einzige Erklärung, die ich mir vorstellen kann.
Ich hoffe ich konnte ein bisschen helfen
Grüße, Silke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Mi 29.12.2004 | | Autor: | ghostdog |
noch mal zu frage es ist irgenteine gerade [mm] g_{2} [/mm] gesucht mein problen
ist der richtungsvektor von [mm] g_{2} [/mm] ich verstehe nicht wie genau man
darauf kommt das er [mm] g_{1} [/mm] schneiden konnte
und zu [mm] g_{1} [/mm] ist der richtungsvektor nicht egal er beschreibt doch gerade
die gerage [mm] g_{1} [/mm] diesen richtungvektor habe ich selber berechtnet
er ergibt sich aus den punkten [mm] B-A=\vektor{2 \\ 0\\1}- \vektor{1 \\ 1\\0}
[/mm]
das habe ich ja noch verstanden aber wie bekomme ich den richtungsvektor von [mm] g_{2} [/mm] in zusammenhang mit dieser aufgabe hin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo ghostdog !!
Wie Du unten schreibst, wird irgendeine Gerade [mm] $g_2$ [/mm] gesucht, die unsere Gerade [mm] $g_1 [/mm] : [mm] \vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \gamma [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -1\\1}$ [/mm] schneidet.
Davon gibt es ja unendlich viele. Genannt werden soll halt eine beliebige.
Hier kann man sich die Aufgabe ziemlich vereinfachen:
Wir wissen ja, daß der Punkt A( 1 | 1 | 0) auf der Geraden [mm] $g_1$ [/mm] liegt.
Also wählen wir uns (beliebig) eben diesen Punkt A als Schnittpunkt der beiden Geraden: [mm] $g_1 \cap g_2 [/mm] = [mm] \{ A \}$.
[/mm]
Damit wird [mm] $\overrightarrow{OA} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}$ [/mm] also auch unser Stützvektor für [mm] $g_2$.
[/mm]
Nun müssen wir uns noch einen Richtungsvektor [mm] $\overrightarrow{AP}$ [/mm] bestimmen, um eine vollständige Geradengleichung zu erhalten.
[mm] $g_2 [/mm] : [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \overrightarrow{AP}$
[/mm]
Wir bereits mehrfach angedeutet, darf dieser Richtungsvektor von [mm] $g_2$ [/mm] nicht identisch sein mit dem Richtungsvektor von [mm] $g_1$. [/mm] Er darf nauch nicht linear abhängig sein mit dem Richtungsvektor von [mm] $g_1$.
[/mm]
Das heißt dieser neue Richtungsvektor von [mm] $g_2$ [/mm] darf kein Vielfaches vom Richtungsvektor von [mm] $g_1$ [/mm] sein.
In Zahlen:
Oben hast Du (richtig) ermittelt für den Richtungsvektor von [mm] $g_1$:
[/mm]
[mm] $\overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1}$
[/mm]
Nun benötigen wir den Richtungsvektor der Geraden [mm] $g_2$: $\overrightarrow{AP}$
[/mm]
Dafür benutzen wir den "alten" Richtungsvektor und verändern eine Koordinate und wählen dafür die Null.
Wir erhalten:
[mm] $\overrightarrow{AP} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1}$
[/mm]
Wir hätten auch die y- oder z- Koordinate verändern können:
[mm] $\overrightarrow{AP'} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
oder [mm] $\overrightarrow{AP''} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0}$
[/mm]
Nun haben wir einen neuen Richtungsvektor [mm] $\overrightarrow{AP}$, [/mm] der linear unabhängig vom Richtungsvektor [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] ist.
[mm] $g_2 [/mm] : [mm] \vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1}$
[/mm]
Nun alle Klarheiten beseitigt ...  ?
Loddar
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
Ich auch nicht so richtig ... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
