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| Aufgabe | $W= [mm] W_{1} \times [/mm] ... [mm] \times W_{m}$ [/mm] Produkt normierter Vektorräume
$I [mm] \subset \IR$, [/mm] $p [mm] \in [/mm] I$
[mm] $f=(f_{1},...,f{n}) [/mm] : I [mm] \to [/mm] W$
Zeigen Sie, dass $f$ genau dann in $p$ differenzierbar ist, falls [mm] $f_{i}$ [/mm] für alle $i [mm] \in [/mm] {1,...,m}$ in $p$ differenzierbar ist und dass in diesem Fall gilt
[mm] $f'(p)=(f'_{1}(p),\ldots,f'_{n}(p))$ [/mm] |
Guten Abend allerseits,
"=>" habe ich so gelöst:
[mm] f_{i}=pr_{i} \circ [/mm] f . Nach Voraussetzung ist f differenzierbar bei p und [mm] pr_{i} [/mm] ist linear und stetig. Solche Verkettungen sind wieder differenzierbar.
"<=" jetzt hapert es. Wie soll ich das formal korrekt machen? Eigentlich ist es ja offensichtlich, da für [mm] f_{i} [/mm] ja für alle i differenzierbar ist.
[mm] f=(f_{1},...,f_{n}) [/mm] ist ja so definiert, also folgt doch sofort die besagte Ableitung...
Aber das ist doch irgendwie kein Beweis, oder?
Wie soll ich alle [mm] f_{i} [/mm] zu f zusammenbauen?
Viele Grüße
Alex
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Hallo Alex,
also nimm doch an, dass die [mm] f_i\colon I\to W_i [/mm] alle diffbar sind in p, d.h.
''um p herum sind die [mm] f_i [/mm] linear approximierbar mittels des Gradienten [mm] f_i'':
[/mm]
[mm] f_i(p+\delta) [/mm] = [mm] f_i(p) [/mm] + [mm] f'_I(p)\cdot \delta [/mm] + [mm] R_i(\delta) [/mm] mit
[mm] \parallel R_i(\delta)\parallel \to [/mm] 0 [mm] \:\: (|\delta|\to [/mm] 0) (gemeint ist die Norm in [mm] W_i).
[/mm]
Dann musst Du analoges zeigen fuer f, und da ist doch dann
[mm] f(p+\delta) [/mm] = [mm] (f_1(p+\delta),\ldots [/mm] , [mm] f_m(p+\delta))
[/mm]
und dann setzt Du die Bedingung fuer die [mm] f_i [/mm] ein und bekommst lineare Approximierbarkeit durch
[mm] (f_1'(p),\ldots [/mm] , [mm] f_m'(p)) [/mm] heraus.
Viele Gruesse,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Mathe_Alex |
Zwar etwas zu spät, ich hoffe es wird dennoch gelesen. :)
Danke für den Tipp, ich hab es letztendlich aber anders gemacht :)
Wir haben nämlich mal bewiesen, dass wenn eine Folge in jedem einzelnen Raum des kartesischen Produktes konvergiert, dass sie dann auch im gesamtraum konvergiert und diese Form annimmt. Damit geht das ganze denke ich auch.
:)
Viele Grüße
Alex
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