verknüpfung zweier Funktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Do 26.03.2009 | | Autor: | zolushka |
| Aufgabe | gegeben sind die Abbilfungen:
[mm] f_{1}(x,y,z) [/mm] = x- 2y + z , [mm] f_{2}(x,y,z) [/mm] = xy, [mm] f_{3}(x,y,z) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - [mm] z^2 [/mm]
und
[mm] g_{1}(x, [/mm] y, z) = [mm] (x-y)^2 [/mm] + [mm] z^2, g_{2}(x, [/mm] y, z) = [mm] (x+y)^2, g_{3}(x, [/mm] y, z) = xy- z
man prüfe ob die Abbildungen h = [mm] g\circ [/mm] f in einer Umgebung [mm] h(x_{0}, y_{0}, z_{0} [/mm] ) mit [mm] (x_{0}, y_{0}, z_{0}) [/mm] = (1, 1, 1) umkehrbar ist |
hallo,
kann mir bitte jemand sagen, wie ich die Funktionen verknüpfe....
ich habe es zwar so probiert ...
[mm] g_{1} \circ f_{1} [/mm] = [mm] (f_{1}-f_{2})^2 [/mm] + [mm] f_{3}^2 [/mm]
aber es kommt nichts gescheites raus...
Vielen Dank im voraus!
mit freundlichen Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Do 26.03.2009 | | Autor: | Dath |
Vielleicht muss man [mm]x = f_{1}, y = f_{2}, z = f{3}[/mm] setzen? Nur eine Vermutung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Do 26.03.2009 | | Autor: | zolushka |
hallo Dath,
habs versucht, kommt leider nichts gescheites raus ,.. komisch
Danke fürs schreiben!
mit freundlichen Grüssen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Do 26.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest dir f als Vektor vorstellen.
[mm] \vec{f}=\vektor{f1(\vec{x}) \\ f2(\vec{x})\\ f3(\vec{x})}
[/mm]
entsprechend vec{g}
dann ist [mm] f\circ [/mm] g [mm] =\vektor{f1(\vec{g}) \\ f2(\vec{g})\\ f3(\vec{g})}
[/mm]
entsprechend [mm] g\circ [/mm] f
was du bisher hast ist [mm] g_1\circ \vec{f} [/mm] und nicht [mm] g_1\circ f_1
[/mm]
dir fehlen also noch die 2 anderen Komponenten.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Do 26.03.2009 | | Autor: | zolushka |
> Hallo
hallo leduart, danke für die Antwort
> Du solltest dir f als Vektor vorstellen.
> [mm]\vec{f}=\vektor{f1(\vec{x}) \\ f2(\vec{x})\\ f3(\vec{x})}[/mm]
>
tu ich
> entsprechend vec{g}
> dann ist [mm]f\circ[/mm] g [mm]=\vektor{f1(\vec{g}) \\ f2(\vec{g})\\ f3(\vec{g})}[/mm]
>
> entsprechend [mm]g\circ[/mm] f
> was du bisher hast ist [mm]g_1\circ \vec{f}[/mm] und nicht [mm]g_1\circ f_1[/mm]
>
[mm]g_{1}\circ f[/mm] ist bei mir dann
[mm](f_{1} - 2f_{2}) ^2+ f_{3}^2[/mm]
ist es dann richtig ...
als ergebnis kommt aber...
[mm] x^2 - 4xy + 4y^2 + 2xz -4yz-2x^2y + 4xy^2 - z^2 + 2xyz - x^2y^2 + x^4 - x^2z^2 + z^4[/mm]
es kann nicht richtig sein oder?
> dir fehlen also noch die 2 anderen Komponenten.
> gruss leduart
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Do 26.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Es ist [mm] h(x,y,z)=\pmat{g_1(f_1(x,y,z),f_2(x,y,z),f_3(x,y,z))\\g_2(f_1(x,y,z),f_2(x,y,z),f_3(x,y,z))\\g_3(f_1(x,y,z),f_2(x,y,z),f_3(x,y,z))}
[/mm]
Daher würd ich mal schauen ob die Rechnung, die ich dir in der anderen Antwort geschrieben habe, nicht einfacher ist...
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Do 26.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja so kompliziert sieht die erste Komponente aus. (ich hab nicht ueberprueft ob alle Vorzeichen stimmen)
du wolltest wissen, was die komp. ist. das weisst du jetzt, solltest das aber nicht explizit verwenden, sondern pelzigs Rat befolgen.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Do 26.03.2009 | | Autor: | pelzig |
unabhängig davon wie [mm] $g\circ [/mm] f$ nun konkret aussieht, musst du doch nur prüfen ob die Matrix [mm] Dg(f(x_0))\cdot Df(x_0) [/mm] für [mm] x_0=(1,1,1) [/mm] maximalen Rang hat bzw. ob die Determinante dort nicht verschwindet.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Do 26.03.2009 | | Autor: | zolushka |
um die Jacobi - Determinante auszurechnen muss ich sie so oder so ausrechnen und ableiten oder ... oder wie geht es, wenn der Punkt bzw. die Umgebung explizit angegegeben sind, wie in diesem Fall?
einsetzen und dann erst die Determinante schauen?
mit freundlichen Grüssen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Do 26.03.2009 | | Autor: | pelzig |
1) Berechne Die Jacobimatrizen von f an der stelle [mm] x_0:=(1,1,1) [/mm] und die von g an der Stelle [mm] f(x_0). [/mm] Das sind ja genau die [mm] Df(x_0) [/mm] und [mm] Dg(f(x_0)).
[/mm]
2) Bilde das Matrizenprodukt [mm] Dg(f(x_0))\cdot Df(x_0)=:M
[/mm]
3) Prüfe, ob M maximalen Rang hat - falls ja, so ist [mm] g\circ [/mm] f in [mm] x_0 [/mm] lokal invertierbar.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Do 26.03.2009 | | Autor: | zolushka |
es kommt invertierbar als Antwort raus ... so habe ich es gar nicht gesehen, tut mir leid wegen viele Umstände...
Vielen vielen Dank an pelzig und leduart!
mit freundlichen Grüssen
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