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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Do 21.10.2004 | | Autor: | Sandycgn |
Kann mir jemand helfen?
Beweisen Sie durch vollst. Induktion, dass die SUmme dreier aufeinanderfolgender Kubikzahlen stets ein Vielfaches von 9 ist.
Ich komm nicht drauf.
Vielen Dank!
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Hallo!
Ich habe leider noch keine Lösung für deine Aufgabe gefunden, aber falls du noch keinen Ansatz gehabt haben solltest, probier's doch mal mit diesem hier:
[mm] a^3+(a+1)^3+(a+2)^3=9x [/mm] mit x [mm] \in \IN
[/mm]
Dann ist der Induktionsanfang:
a=0
[mm] 0^3+1^3+2^3=0+1+8=9 [/mm] = 9*1, also x=1 (damit will ich nur sagen, dass die gesuchte Summe durch 9 teilbar ist...)
Allerdings bin ich dann bei dem Induktionsschritt auch nicht viel weiter gekommen, habe mich aber auch nur einige Minuten damit befasst.
Viele Grüße und sag mir bescheid, ob das mit diesem Ansatz funktioniert. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Do 21.10.2004 | | Autor: | Sandycgn |
Hallo! Vielen Dank für deine Hilfe, aber diesen Schritt hatte ich auch schon hinbekommen...
Hmmm... ich werde mal schauen, ob ichs noch schaff, werds dann aber hier hineinstellen.
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Hier hast du was.
Die gleichung lautet ja : [mm] x^{3}+ (x+1)^{3}+ (x+2)^{3} [/mm] = 9y
1.) Induktionsanfang: Das heist nachweis dass der erste Schritt also [mm] x_{0} [/mm] gilt. Einsetze und Ausrechnen.
0+ 1 + 8 = 9y
1= y ist richtige Aussage.
2.) Induktionsvorraussetzung
Die Aussage x ist für eine beliebige Zahl [mm] x_{1} [/mm] richtig, es gilt also [mm] x_{1}
[/mm]
3.) Induktionsschluss (Induktionschritt)
ist [mm] x_{1} [/mm] richtig muss also auch [mm] x_{x+1} [/mm] richtig sein.
[mm] (x+1)^{3} [/mm] + [mm] (x+1+1)^{3} [/mm] + [mm] (x+1+2)^{3} [/mm] =9y
Ausrechnen und fertig.........
mfg und viel Spass........
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:30 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Man kann sich das Leben auch noch wie folgt vereinfachen:
Du weißt, dass [mm] $(x-1)^3+(x)^3+(x+1)^3$ [/mm] durch 9 teilbar sind. Nun willst du dies auch für $x,x+1$ und $x+2$ zeigen. Durch Addition und Subtraktion von [mm] $(x-1)^3$ [/mm] musst du nach einigen Schritten nur noch zwei solcher Klammern ausmultiplizieren und so zeigen, dass [mm] $(x-1)^3+(x+2)^2=9$ [/mm] gilt, wobei es keine weiteren Schwierigkeiten gibt.
Edit: Hier hat sich Hanno verschrieben: Es muss heißen: ...und so zeigen, dass [mm] $(x+2)^3-(x-1)^3$ [/mm] durch $9$ teilbar ist. (Stefan)
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Sandycgn |
Häh? Ich verstehe nicht, wie ich das (vor allem formalisiert) rechnen muss. Kann mir jemand bitte die gesamte Rechnung aufschreiben. Wir müssen das, soweit ich weiß, auch auch nach dem Peanoaxiom (Induktionsaxiom) lösen. Und so zeigen, dass es NICHT für n = 0, sondern für n = 1 gilt (Induktionsverankerung).
Meine Schwierigkeit hierbei ist das Vielfache von 9 auszudrücken, Ich weiß, dass man es beispielsweise mit 9x schreiben kann. Aber wenn ich dann von n auf n+1 gehe, dann kann ich doch nicht wieder 9x schreiben, weil doch dann das x ein anderes sein muss. aber dafür habe ich, meiner meinung nach, zu viele variablen, weswegen ich dann auch zu keinem schluss kommen kann.
Bitte helft mir, es ist sehr dringend! vielen dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Fr 22.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
also ich denke mal, den induktionsanfang kriegst du hin.
bei induktionsschritt kannst du annehmen, dass gilt: [m] n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 = 9k [/m] mit [m] k \in \mathbb{N} [/m]
nun willst du zeigen, dass [m] \exists \, l \in \mathbb{N}: (n+1)^3 + (n+2)^3 +(n+3)^3 = 9l [/m]
also: [m] (n+1)^3 + (n+2)^3 +(n+3)^3 [/m]
[m] = n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 + (n+3)^3 - n^3 [/m]
[m] = (n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3) + (n+3)^3 - n^3 [/m]
[m] = 9k + n^3 + 9n^2 + 27n + 27 - n^3 [/m]
[m] = 9k + 9n^2 + 27n + 27 = 9(k + n^2 + 9n + 9) [/m].
also setze [m] l := k + n^2 + 9n + 9 \in \mathbb{N} [/m] und du hast die gewünschte darstellung.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Sandycgn |
Suuuuper! Vielen Dank für die Lösung!!! Ich bin so happy. Aber ich bezweifle, dass ich das irgendwann mal selbst hinkrieg... ISt ja schon ganz schön schwer, erst einmal auf den Lösungsweg zu kommen. Nachvollziehen kann ich das alles...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Anscheinend hast du gerade erst mit dem Studium angefangen - damals ging's mir auch so, dass ich zwar die meisten Sachen nachvollziehen konnte, mir aber nicht vorstellen konnte, jemals selbst auf die Lösung zu kommen. Aber das wurde mit der Zeit immer besser, und mittlerweile bin ich manchmal richtig stolz, wenn ich ne Idee habe, wie man etwas beweisen könnte.
Und bei vollständiger Induktion gibt es oft ähnliche Sachen, und wahrscheinlich werdet ihr erstmal etliche Aufgaben dazu rechnen - dann klappt das schon.
Nur Mut - halte durch!
Viele Grüße
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