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Hi,
[mm] $\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel(k)}\ge \wurzel(n)$
[/mm]
Induktionsanfang:
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{1}}\ge \wurzel{1}$
[/mm]
[mm] $1\ge [/mm] 1$
Induktionsschluss:
Für ein gewisses [mm] $n\ge [/mm] 1$ sei richtig:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel(k)}\ge \wurzel(n)$
[/mm]
zu zeigen ist:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel(k)}\ge \wurzel(n+1)$
[/mm]
Ausgangspunkt:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel(k)}\ge \wurzel(n)\gdw \bruch{1}{\wurzel{1}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}+...+\bruch{1}{\wurzel{n}}\ge \wurzel{n}$
[/mm]
jetzt auf beiden Seiten [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] addieren und man erhält:
[mm] $(\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel(k)})+\bruch{1}{\wurzel{n+1}}\ge \wurzel(n)+\bruch{1}{\wurzel{n+1}}$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{\wurzel(k)}\ge \wurzel(n)+\bruch{1}{\wurzel{n+1}}$
[/mm]
Die linke Seite ist nun so wie ich sie mir wünsche, aber die rechte nicht. Wo liegt der Fehler? Sehe ich nur den Weg nicht das richtig umzuformen oder ist mein Ansatz völlig falsch?
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Andreas!
> Ausgangspunkt:
> $ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge \wurzel{n}\gdw \bruch{1}{\wurzel{1}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}+...+\bruch{1}{\wurzel{n}}\ge \wurzel{n} [/mm] $
> jetzt auf beiden Seiten $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] $ addieren und man erhält:
Dieser Ansatz ist falsch. Die Ungleichung, die du nun erhältst, und die deiner Meinung nach zu beweisen ist, ist lediglich eine zur Induktionsvoraussetzung äquivalente Ungleichung. Du musst die neue Ungleichung aufstellen, die der Behauptung für $n+1$ entspricht, und diese lautet
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k}}\geq \sqrt{n+1}$.
[/mm]
Unter Verwendung der Induktionsverankerung kannst du diese Ungleichung nun sehr leicht beweisen.
Verstehst du, wo dein Fehler war? Du musst nicht an der Induktionsvoraussetzung weiter arbeiten, sondern sie in der neuen Ungleichung, die der Aussage für das nächsthöhere $n$ entspricht, verarbeiten.
Liebe Grüße,
Hanno
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Hanno,
> > Ausgangspunkt:
> > [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}\ge \wurzel{n}\gdw \bruch{1}{\wurzel{1}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{3}}+...+\bruch{1}{\wurzel{n}}\ge \wurzel{n}[/mm]
>
> > jetzt auf beiden Seiten [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm] addieren
> und man erhält:
>
> Dieser Ansatz ist falsch.
Da bin ich anderer Meinung.
> Die Ungleichung, die du nun
> erhältst, und die deiner Meinung nach zu beweisen ist, ist
> lediglich eine zur Induktionsvoraussetzung äquivalente
> Ungleichung.
Das ist doch nicht so ungewöhnlich bei Induktionen?
> Du musst die neue Ungleichung aufstellen, die
> der Behauptung für [mm]n+1[/mm] entspricht, und diese lautet
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k}}\geq \sqrt{n}[/mm].
Das sehe ich gar nicht...
Die Behauptung für n+1 lautet schon
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k}}\geq \sqrt{n\red{+1}}[/mm].
Andreas' Induktion enthält meiner Meinung nach schon die richtigen Schritte, die Beweisabfolge ist nur etwas unschön aufgeschrieben.
Es ist also noch zu zeigen, dass [mm] $\wurzel{n}+\bruch{1}{\wurzel{n+1}}\ge \wurzel{n+1}$, [/mm] und alles schöner aufzuschreiben. Wenn Andreas diese Ungleichung gezeigt hat, kann ich das ja mal machen.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Marc!
> $ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k}}\geq \sqrt{n\red{+1}} [/mm] $.
Schusselfehler.
> Es ist also noch zu zeigen, dass $ [mm] \wurzel{n}+\bruch{1}{\wurzel{n+1}}\ge \wurzel{n+1} [/mm] $, und alles schöner aufzuschreiben
Eben das schien er mir nicht erkannt zu haben.
Liebe Grüße,
Hanno
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Hanno!
> > [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k}}\geq \sqrt{n\red{+1}} [/mm].
>
> Schusselfehler.
Ah so 
Aber dann ist es doch genau das, was Andreas auch geschrieben hat?
> > Es ist also noch zu zeigen, dass
> [mm]\wurzel{n}+\bruch{1}{\wurzel{n+1}}\ge \wurzel{n+1} [/mm], und
> alles schöner aufzuschreiben
>
> Eben das schien er mir nicht erkannt zu haben.
Er ist nur an genau dieser Stelle stehen geblieben, und hat deswegen nachgefragt. Sein Ansatz bleibt dadurch aber doch richtig.
Liebe Grüße,
Marc
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> Die Behauptung für n+1 lautet schon
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k}}\geq \sqrt{n\red{+1}}[/mm].
>
> Andreas' Induktion enthält meiner Meinung nach schon die
> richtigen Schritte, die Beweisabfolge ist nur etwas unschön
> aufgeschrieben.
>
> Es ist also noch zu zeigen, dass
> [mm]\wurzel{n}+\bruch{1}{\wurzel{n+1}}\ge \wurzel{n+1}[/mm], und
> alles schöner aufzuschreiben. Wenn Andreas diese
> Ungleichung gezeigt hat, kann ich das ja mal machen.
Genau das ist mein Problem. Ich sitze jetzt schon einige Zeit daran und überlege, aber kann irgendwie keine Form finden die diese Ungleichung deutlich zeigt. Kannst du mir nochmal helfen? Kann ich diese Ungleichung durch einfaches Umformen zeigen, oder muss ich durch geschicktes "einsetzen" der bis dort hin gezeigten Gleichung "irgendwas" zeigen. Ich finde Beweise mit Ungleichungen immer so schwer zu zeigen. :-(
Gruß
Andreas
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hallo,
jetzt versuch ich's mal mit der Eingabe der Formeln:
es ist
[mm] \wurzel{n} + \bruch{1} {\wurzel{n+1}} =
\bruch{\wurzel{n(n+1)}}{\wurzel{n+1}} + \bruch{1}{\wurzel{n+1}} > \bruch{n+1}{\wurzel{n+1}} = \wurzel{n+1} [/mm].
Nun hoffe ich nur noch, daß man die Formeln sieht und daß es Dir nützt.
Gruß Angela
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Schade, ich bin wohl zu blöd für den Umgang mit der Formeleingabe. Ich geb' auf!
Bye, Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Mo 23.05.2005 | | Autor: | banachella |
Hallo angela.h.b!
Kopf hoch! Lass dich doch von sowas nicht entmutigen!
Die Formeln habe ich jetzt übrigens korrigiert, das ist hoffentlich ok für dich...
Gruß, banachella
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 So 05.06.2005 | | Autor: | andreas99 |
Hi,
danke für die ganzen Antworten. Ich hab es dann in der Übung auch nochmal erklärt bekommen. Ich hab jetzt auch noch einen alternativen Weg mitgeschrieben den Beweis zu führen. Ich hab das ganze seitdem aber nicht mehr genauer angeschaut, weil ich seit letzter Woche noch für ein anderes Fach lerne (Datenbanken, Oracle,...). Wenn ich mich nä. Woche nochmal ran setze schreibe ich die Alternativlösung evtl. noch hier in den Thread.
Gruß
Andreas
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Hallo, ich kann das mit den Zeichen (noch) nicht, aber vielleicht kann ich ja trotzdem rüberbringen, wie's geht.
... > wurzel(n) + 1/wurzel(n+1) = (wurzel(n(n+1)) + 1)/ wurzel(n+1)
> (n+1)/ wurzel (n+1)= wurzel(n+1)
Wenn Du's Dir aufschreibst, müßte es klar sein.
Gruß v. Angela
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