vollst. Induktion Produkt < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Mi 22.10.2008 | | Autor: | dennschu |
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgende Aussage:
Es gilt [mm] \produkt_{k=2}^{n} [/mm] (1 - [mm] \bruch{1}{k^{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{n + 1}{2n} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 2 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe obigen Beweis zu führen komme aber leider nicht mehr weiter. Ich schreibe mal meinen bisherigen Lösungsweg auf:
IA: n=2
0,75 = 0,75 (stimmt!)
IS:
[mm]\produkt_{k=2}^{n+1} (1 - \bruch{1}{k^{2}}) = (\produkt_{k=2}^{n} (1 - \bruch{1}{k^{2}}))(1 - \bruch{1}{(n+1)^{2}})[/mm]
nach der Induktionsvorraussetzung gilt:
[mm]= (\bruch{n+1}{2n})(1 - \bruch{1}{(n+1)^{2}})[/mm]
[mm]= (\bruch{n+1}{2n}) - (\bruch{n+1}{2n(n+1)^2})[/mm]
nach einigen Umformungen komme ich am Ende auf folgendes Ergebnis:
[mm]= \bruch{n+2}{2(n+1)}[/mm]
Ist das alles so richtig? Das ist mein erster Induktionsbeweis, und ich kann mit dem Ergebnis nichts anfangen.
MfG Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Mi 22.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgende
> Aussage:
>
> Es gilt [mm]\produkt_{k=2}^{n}[/mm] (1 - [mm]\bruch{1}{k^{2}})[/mm] =
> [mm]\bruch{n + 1}{2n}[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] 2
> Hallo, ich habe obigen Beweis zu führen komme aber leider
> nicht mehr weiter. Ich schreibe mal meinen bisherigen
> Lösungsweg auf:
>
> IA: n=2
> 0,75 = 0,75 (stimmt!)
>
> IS:
> [mm]\produkt_{k=2}^{n+1} (1 - \bruch{1}{k^{2}}) = (\produkt_{k=2}^{n} (1 - \bruch{1}{k^{2}}))(1 - \bruch{1}{(n+1)^{2}})[/mm]
>
> nach der Induktionsvorraussetzung gilt:
> [mm]= (\bruch{n+1}{2n})(1 - \bruch{1}{(n+1)^{2}})[/mm]
> [mm]= (\bruch{n+1}{2n}) - (\bruch{n+1}{2n(n+1)^2})[/mm]
>
> nach einigen Umformungen komme ich am Ende auf folgendes
> Ergebnis:
>
> [mm]= \bruch{n+2}{2(n+1)}[/mm]
Das ist doch ganz großartig! Der einzige Fehler ist, daß man Voraussetzung mit einem r schreibt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Mi 22.10.2008 | | Autor: | dennschu |
Danke für die schnelle Reaktion! Ich werde versuchen meine Rechtschreibung zu verbessern ;)
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