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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - vollst. m.R. ohne Fixpunkt
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vollst. m.R. ohne Fixpunkt: Tipp, Idee
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:04 Do 04.06.2009
Autor: Peano08

Aufgabe
Geben Sie ein Beispiel eines vollständigen metrischen Raumes X sowie einer Abbildung f: X->X derart an, dass d(f(x),f(y))<d(x,y) für alle x ungleich y, jedoch keinen Fixpunkt besitzt.  

Hallo,
meine Idee war dort den X=IR zu nehmen, da es ja ein vollständiger metrischer Raum mit der Standardmetrik ist.  

wenn ich nun z.B. die Funktion f(x)= 1/3*x-,5 nehme besitz sie einen Fixpunkt, aber jede Funktion dieses typus besitzt doch eine?!?!

und wenn ich eine nehme, die keinen hat, z.B. f(x)=x+2, dann erfüllt sie eben nicht die gegebene Ungleichung..

ich finde einfach keine passende abbildung. kann mir da jemand vll einen tipp geben?

Danke!
        
Bezug
vollst. m.R. ohne Fixpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Do 04.06.2009
Autor: Peano08

hi,
ich habe mir überlegt, dass ich ja auch den IR^+ nehmen könnte und dort die erstgenannte abbildung definiere.

Aber ist der Raum dann noch vollständig? eher nicht oder?
Bezug
                
Bezug
vollst. m.R. ohne Fixpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Do 04.06.2009
Autor: fred97


> hi,
> ich habe mir überlegt, dass ich ja auch den IR^+ nehmen
> könnte und dort die erstgenannte abbildung definiere.
>
> Aber ist der Raum dann noch vollständig? eher nicht oder?

Er ist vollständig

Nimm lieber X = [1, [mm] \infty) [/mm]


FRED
Bezug
                        
Bezug
vollst. m.R. ohne Fixpunkt: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:59 Do 04.06.2009
Autor: Peano08

hi,
gut,
kann ich denn dann die Abbildung f(x)= 1/3*x-1,5 nehmen?

in IR hätte sie ja den Fixpunkt x^*=-2,25, der ja jetzt nicht im definitionsbereich liegt, ebenso wie einige werte für x=1, x=2, uws. macht das was?

Danke schonmal.
Bezug
                                
Bezug
vollst. m.R. ohne Fixpunkt: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Sa 06.06.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
vollst. m.R. ohne Fixpunkt: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Sa 06.06.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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