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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Mo 23.10.2006 | | Autor: | TimBuktu |
Hallo!
Eine Teilmenge eines metrischen Raumes ist abgeschlossen, falls der Grenzwert jeder konvergenten Folge mit Werten aus M wiederum in M liegt.
Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ihm konvergiert.
Ist das nicht dasselbe? Der einzige Grund warum Cauchyfolgen nicht konvergieren könnten wäre doch, dass der Grenzwert nicht in der Menge liegt...
Ich habe diese Frage nirgends anders gestellt und bedanke mich sehr für Reaktionen. Gruß
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Hallo TimBuktu,
der Unterschied zwischen den beiden Begriffen liegt eher darin, auf was sie angewendet werden. Vollständigkeit ist eine Eigenschaft des metrischen Raumes $(X,d)$. Bei Abgeschlossenheit geht es um das Verhältnis einer Teilmenge [mm] $M\subseteq [/mm] X$ zum metrischen Raum. Deshalb sagt man auch "$M$ ist abgeschlossen in $(X,d)$".
Ein kleines Beispiel: [mm] $(\IQ,|.|)$ [/mm] ist nicht vollständig. [mm] $\IQ$ [/mm] ist in [mm] $(\IR,|.|)$ [/mm] nicht abgeschlossen. Aber: [mm] $\IQ$ [/mm] ist in [mm] $(\IQ,|.|)$ [/mm] abgeschlossen.
Sind dir die Begriffe jetzt klarer?
Gruß, banachella
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