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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:47 Do 21.10.2004 | | Autor: | goofy_22 |
Hallo,
ich sitze seit heute morgen an meinem Analysis-Übungszettel. Ich habe ihn bis auf eine Aufgabe ganz gelöst. Nur diese Aufgabe macht mir Probleme:
Für eine reelle Zahl x und eine natürliche Zahl k werde definiert [mm] \vektor{x \\ k} [/mm] := [mm] \produkt_{j=1}^{k} \bruch{x-j+1}{j}.
[/mm]
Beweisen Sie: [mm] \vektor{x+y \\ n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{x \\ n-k} \vektor{y \\ k}.
[/mm]
Das diese Aufgabe mittels Induktion gelöstt werden kann ist, denke ich, offensichtlich. Ich kann mir vorstellen, dass der Binomischer Lehrsatz hierbei hilfreich wäre.
Über eine Lösung würde ich mich sehr freuen. Hoffentlich könnt ihr mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mit freundlichen Grüßen
Goofy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:17 Di 26.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Goofy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
leider hat keiner eine zündende Idee zu dieser Aufgabe gehabt.
Ich selbst hatte es auch versucht, es aber nicht zu Ende geführt.
Nun ist die von dir gewählte Fälligkeit bereits abgelaufen, wenn du magst, schreibe uns doch die Lösung sobald du sie in deiner Übungsgruppe besprochen hast.
Tut mir leid, dass wir dir nicht weiter helfen konnte.
Viele Grüße und hoffentlich trotzdem bis bald,
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Mi 27.10.2004 | | Autor: | goofy_22 |
Hallo Marc,
vielen Dank, dass Du dir die Mühe gemacht hast, die Aufgabe zu lösen. Ich habe es auch nicht geschafft die Aufgabe zu lösen. Erst durch einen Tipp bin ich auf die Lösung gekommen, jedoch wäre ich auf diesen Tipp niemals alleine gekommen. Hier ist meine Lösung:
Die Aufgabe erinnert etwas an den Binomischen Lehrsatz, wenn man folgendes Symbol einführt: Für eine reelle Zahl x und eine natürliche Zahl n sei
[mm] x^{[n]} [/mm] := [mm] \produkt_{j=1}^{n} [/mm] (x-j+1) = x(x-1)*...*(x-n+1)
die fallende Fakultät von x mit n Faktoren (oder auch verallgemeinerte Potenz von x).
Damit wird dann
[mm] \vektor{x+y \\ n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n!}(x+y)^{[n]}
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ n-k} \vektor{y\\ k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(n-k)!k!}x^{[n-k]}y^{[k]}
[/mm]
Wegen [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-k)!k!} [/mm] ist deshalb die Behauptung der Aufgabe gleichbedeutend mit
[mm] (x+y)^{[n]} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}x^{[n-k]}y^{[k]}
[/mm]
Diese Formel kann man nun in völler Analogie zum Binomischen Lehrsatz durch vollständige Induktion nach n beweisen.
Was haltet Ihr von dieser Lösung? Gibt es noch eine "einfachere"?
Mit freundlichen Grüßen
Gooofy
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Hi Goofy,
ich hab die Aufgabe auch nicht lösen können und finde deine Variante wirklich gut. Ich denke dass deine Lösung eine der elegantesten ist.
Hugo
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