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vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 Mi 16.05.2007
Autor: Huntsman

Aufgabe
Zeigen sie anhand des Induktionsverfahrens, dass das Ergebnis aus

n²+n (n [mm] \varepsilon \IN) [/mm]

immer gerade is

Muss ich für eine Facharbeit vorbereiten, krieg es aber nicht hin.

Ich müsste irgendwie n+1 einsetzen, um die Gleichung für folgende natürliche Zahlen zu beweisen, aber wenn ich einfach n = n+1 einsetze und dass mit n²+n gleichsetze, kann kein richtiges Ergebnis rauskommen.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Danke schon mal im Vorraus.

        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 Mi 16.05.2007
Autor: rabilein1


> Ich müsste irgendwie n+1 einsetzen, um die Gleichung für
> folgende natürliche Zahlen zu beweisen, aber wenn ich
> einfach n = n+1 einsetze und dass mit n²+n gleichsetze,
> kann kein richtiges Ergebnis rauskommen.

Wenn du n+1 für n einsetzt, dann kommt raus:
[mm] n^{2}+3n+2 [/mm]

Was ist, wenn n gerade ist?
Was ist, wenn n ungerade ist?


Bezug
                
Bezug
vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Mi 16.05.2007
Autor: Huntsman

ENTSCHULDIGE BITTE!

Ich habe mich bei der Gleichung oben vollkommen verschrschrieben.

Es muss richtig lauten:

n²-n

und NICHT n²+n. Die Aufgabe bleibt aber immer noch die gleiche.

Trotzdem danke für deine schnelle Antwort.

Um auf deine letzte Frage einzugehen:
Es soll für beide Fälle berechnet werden, wobei ich aber nicht wusste, dass es einen Unterschied in der Berechnung macht.

Bezug
                        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Mi 16.05.2007
Autor: Karsten0611

Hallo Huntsman!

Die Induktion könnte folgendermaßen aussehen:

Induktionsanfang n=0:

Dann ist [mm] n^2 [/mm] - n = 0, und die Null wird sicherlich von 2 geteilt.

Induktionshypothese:

Die Aussage sei für ein festes n [mm] \in \IN [/mm] wahr.

Induktionsschritt n [mm] \to [/mm] n+1:

Es ist [mm] (n+1)^2-(n+1) [/mm] = [mm] n^2 [/mm] + 2n + 1 - n - 1 = [mm] n^2 [/mm] + n.

Nun formen wir ein bißchen um:

[mm] n^2 [/mm] + n = [mm] n^2 [/mm] - n + n + n = [mm] n^2 [/mm] - n + 2n

Unabhängig von n ist 2n stets eine gerade Zahl. Nach der Induktionsvoraussetzung wissen wir, daß [mm] n^2 [/mm] - n gerade ist. Die Summe zweier gerader Zahlen ist ebenfalls wieder gerade, denn man kann aus beiden geraden Summanden die 2 faktorisieren. Also ist [mm] (n+1)^2-(n+1) [/mm] eine gerade Zahl und die Behauptung gilt für n+1 (und damit für alle n [mm] \in \IN). [/mm]

LG
Karsten

Bezug
                                
Bezug
vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:02 Mo 21.05.2007
Autor: Huntsman

Dank an alle für eure Hilfe. Das hat mir sehr weitergeholfen!

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