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vollständige Induktion: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Fr 18.04.2008
Autor: jakob99

Aufgabe
Man zeige, dass [mm] 4^{2n+1} [/mm] + [mm] 3^{n+2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] durch 13 teilbar ist.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hi,

ich komme an folgender Stelle des Induktionsschlusses nicht mehr weiter:

Die Induktions Voraussetzung ist : [mm] (4^{2(n+1)+1} [/mm] + [mm] 3^{n+1+2}) [/mm] /13=n
= [mm] (4^{2n+3} [/mm] + [mm] 3^{n+3}) [/mm] /13

Ich komme dann auf:

[mm] (4^{2n+1}*3 [/mm] + [mm] 3^{n+2}*3 +13*4^{2n+1})/13=n [/mm]

der hintere Teil [mm] 13*4^{2n+1} [/mm] ist ja klar. Der ist immer durch 13 teilbar.

Aber was mach ich mit dem vorderen Teil?
Ich komme nicht weiter.

Danke für eure Hilfe.

Jakob

        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Fr 18.04.2008
Autor: barsch

Hi,

Behauptung:

[mm] 4^{2n+1}+3^{n+2} [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] durch 13 teilbar

Induktionsanfang: n=1:

[mm] 4^{2*1+1}+3^{1+2}=4^{3}+3^{3}=91=13*7 [/mm]    (also: ist durch 13 teilbar!)

Induktionsvoraussetzung: [mm] 4^{2n+1}+3^{n+2} [/mm] durch 13 teilbar gelte [mm] \forall n\in\IN. [/mm]

Induktionsschritt: [mm] n\to{n+1} [/mm]

[mm] 4^{2(n+1)+1}+3^{(n+1)+2}=4^{2n+3}+3^{n+3}=4^{2n+1}*4^2+3^{n+2}*3 [/mm]

[mm] =4^{2n+1}\cdot3+3^{n+2}\cdot3+13\cdot4^{2n+1}=\underbrace{\underbrace{3*\underbrace{(4^{2n+1}+3^{n+2})}_{\text{nach IV durch 13 teilbar!}}}_{\text{dann ist ein vielfaches (3fache) auch durch 13 teilbar}}+\underbrace{13\cdot4^{2n+1}}_{\text{Auch durch 13 teilbar!}}}_{\text{Insgesamt durch 13 teilbar}} [/mm]

Da du vielfache von 13 addierst, erhälst du wieder ein vielfaches von 13,daher [mm] \text{Insgesamt durch 13 teilbar}! [/mm]

MfG barsch

Bezug
                
Bezug
vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:31 Fr 18.04.2008
Autor: jakob99

Ah,
klar.

Danke barsch

Bezug
        
Bezug
vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:33 Fr 18.04.2008
Autor: jedi84

Die Antwort von Barsch ist natürlich komplett richtig, aber du warst schon fast da. Gekommen bist du bis:
[mm] (4^{2n+1}*3 [/mm] + [mm] 3^{n+2}*3 +13*4^{2n+1})/13=n [/mm]
wobei besser
[mm] (4^{2n+1}*3 [/mm] + [mm] 3^{n+2}*3 +13*4^{2n+1})/13=m [/mm]
Denn es handelt sich wohl nicht um dasselbe n.
An dieser Stelle hättest du nur noch die 3 aus den beiden vorderen Summanden ausklammern sollen und wärst bei
[mm] 3*(4^{2n+1} [/mm] + [mm] 3^{n+2})=13m [/mm]
Dort siehst du dann den Teil
[mm] (4^{2n+1} [/mm] + [mm] 3^{n+2}) [/mm]
der ja laut Induktionsvoraussetzung durch 13 teilbar ist.

Gruß Jens

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