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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
Hi.
Folgendes Problem sei zu lösen:
Mit Hilfe der vollständigen Induktion zeige man, dass für alle n = 0, 1, 2 ...
gilt:
[mm] \bruch{n^3 -7n}{6} \in \IZ
[/mm]
Hat da jemand einen Tip?
Die Strategie wird wohl sein, zunächst das ganze für n=0 zu zeigen (Induktionsanfang). Dann ist die Annahme im Induktionsschritt für n+1 zu zeigen. Man formt irgendwie um, so dass man einen Term erhält, der dem o.g. ähnelt und ein Vielfaches von ihm darstellt oder etwas Hinzuaddiertes darstellt, oder ?
Ansatz ?
Gruss
Mukkular
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Abend Mukkular!
> Mit Hilfe der vollständigen Induktion zeige man, dass für
> alle n = 0, 1, 2 ... gilt: [mm]\bruch{n^3 -7n}{6} \in \IZ[/mm]
> Die Strategie wird wohl sein, zunächst das ganze für n=0
> zu zeigen (Induktionsanfang). Dann ist die Annahme im
> Induktionsschritt für n+1 zu zeigen. Man formt irgendwie
> um, so dass man einen Term erhält, der dem o.g. ähnelt und
> ein Vielfaches von ihm darstellt oder etwas Hinzuaddiertes
> darstellt, oder ?
Damit hast Du ja bereits die Vorgehensweise verbal sehr gut beschrieben.
Nach dem Induktionsanfang für $n=0$ ist im Induktionsschritt zu zeigen
[mm] $\bruch{(n+1)^3 -7(n+1)}{6} \in \IZ$
[/mm]
Nach zwei Umformungen (ausmultiplizieren und umsortieren) erhältst Du tatsächlich den o.g. Ausdruck (Induktionsvoraussetzung).
Den Restterm mußt Du dann faktorisieren und anschließend eine kleine Fallunterscheidung für "n gerade" und "n ungerade" machen, und schon bist Du fertig. 
Poste doch dann mal Deine Ergebnisse hier zur Kontrolle, wenn Du möchtest ...
Groß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
Wieso muss ich denn noch eine Fallunterscheidung machen ?
Und wie mache ich diese?
Mukkular
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
haben für den Induktionsschritt (n+1) folgendes ergeben:
[mm] \bruch{3n^3 - 7n}{6} [/mm] + [mm] \bruch{n^2 + n - 2}{2} \in \IZ
[/mm]
... und nun eine Fallunterscheidung für n = gerade (n = 2m) und n = ungerade (n = 2m+1)?
Warum? Wie?
Vielen vielen dank
Mukkular
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mukkular!
> haben für den Induktionsschritt (n+1) folgendes ergeben:
> [mm]\bruch{3n^3 - 7n}{6} + \bruch{n^2 + n - 2}{2} \in \IZ
[/mm]
Das sieht doch schon ganz gut aus: ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Der linke Bruch ist gemäß Induktionsvoraussetzung [mm] $\in \IZ$.
[/mm]
Nun müssen wir den Zähler des rechten Bruches noch weiter faktorisieren.
Da erhalte ich [mm] $n^2 [/mm] + n - 2 \ = \ (n-1)*(n+2)$
Damit auch gilt: [mm] $\bruch{n^2 + n - 2}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n-1)*(n+2)}{2} \in \IZ$ [/mm] muß sich ja die 2 kürzen lassen, sprich: einer der beiden Faktoren $(n-1)$ bzw. $(n+2)$ muß gerade sein.
Daher nun meine oben angesprochene Fallunterscheidung für:
(1) $n$ gerade
(2) $n$ ungerade
Untersuche mal die beiden Fälle bezüglich den Faktoren $(n-1)$ bzw. $(n+2)$ !
Also: wenn $n$ gerade, was wird dann aus $(n-1)$ usw.?
Gruß
Loddar
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