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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Di 04.11.2008 | | Autor: | newcomer |
| Aufgabe | Zeige durch vollständige induktion:
Sei [mm] p\ge3 [/mm] dann gilt: [mm] \forall x\in\IR:p^{n}>n^{2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
hab des ersma umgeschrieben in [mm] (k+2)^{n}>n^{2} [/mm] mit [mm] k,n\in\IN
[/mm]
IV: n=1:
[mm] (k+2)^{1}>n^{1}
[/mm]
k+2>1
k>-1 w.A. da [mm] k\in\IN [/mm] und somit [mm] \ge1
[/mm]
IS: [mm] (k+2)^{n+1}>(n+1)^{2}
[/mm]
[mm] (k+2)^{n+1}=(k+2)^{n}\*(k+2)>n^{2}\*(k+2)=n^{2}k+2\*n^{2}[u]{>n^{2}+2n+1}[/u]=(n+1)^{2}
[/mm]
Ich versteh nich genau wie man auf den letzten unterstrichenen Teil schlussfolgert, wäre sehr erfreut wenn mir einer da nachhelfen könnte. Weiß auch nich ob es vllt an meinem Ansetz liegt das der falsch sein könnte, aber anders kann ichs mir nicht vorstellen.
Schonma ein Danke an alle die mir hier helfen können.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Di 04.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo newcomer,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> hab des ersma umgeschrieben in [mm](k+2)^{n}>n^{2}[/mm] mit [mm]k,n\in\IN[/mm]
Warum? Das macht es später nur unnötig kompliziert.
Zudem schränkst Du hier $p_$ zu sehr ein. Oder ist gegeben, dass $p_$ eine natürliche Zahl sein soll?
Nach meiner Interpretation gilt hier $p \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \red{\IR}$ [/mm] mit $p \ [mm] \ge [/mm] \ 3$ .
Damit sieht der Induktionsschrit wie folgt aus:
[mm] $$p^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] p*\red{p^n} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] p*\red{n^2} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] 3*n^2 [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Di 04.11.2008 | | Autor: | newcomer |
Tschuldigung, hab vergessen dass [mm] p\in\IN [/mm] gelten soll
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Di 04.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo newcomer!
Und was ist das für ein $x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:52 Mi 05.11.2008 | | Autor: | newcomer |
hier die originale Aufgabenstellug (bin in der zeile verrutscht gewesen)
Sei [mm] p\in\IN [/mm] , [mm] p\ge3 [/mm] dann gilt [mm] \forall n\in\IN [/mm] [mm] :p^{n}>n²
[/mm]
also p und n sind beides natürliche zahlen, p>3 und man soll geichung durch vollständige Induktion beweisen. Mein lösungsansatz ändert sich dadurch nicht, nur das verständnis der aufgabenstellung war schwer möglich (nochmals entschuldigung, is mein erster artikel in diesem forum^^)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo newcomer!
Auch mit $p \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] würde ich nicht den Umweg machen wie Du in Deinem Beweis.
Gruß
Loddar
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> Zeige durch vollständige induktion:
> Sei [mm]p\ge3[/mm], [mm] p\in \IN, [/mm] dann gilt: [mm]\forall n\in\IN:p^{n}>n^{2}[/mm]
> Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt
>
> hab des ersma umgeschrieben in [mm](k+2)^{n}>n^{2}[/mm] mit
> [mm]k,n\in\IN[/mm]
Hallo,
das kannst Du machen, wenn Du unbedingt willst, einen Vorteil hat es nicht.
Loddar hat Dir ja schon gesagt, daß durch diese Maßnahme die Aufgabe eine unnötig komplizierte Optik bekommt.
Das solltest Du unbedingt vermeiden - eigentlich sollte einem doch dran gelegen sein, die Aufgaben so zu tunen, daß sie eher übersichtlicher werden.
[mm] >\red{ IV}: [/mm] n=1:
> [mm](k+2)^{1}>\red{n^{1}}[/mm]
> k+2>1
> k>-1 w.A. da [mm]k\in\IN[/mm] und somit [mm]\ge1[/mm]
Dies soll wohl eher der Induktionsanfang (I.A.) sein als die Induktionsvoraussetzung (I.V).
Du willst eine Induktion über n machen.
Also mußt Du im Induktionsanfang prüfen, ob die Aussage für n=1 richtig ist,
Du mußt also nachschauen, ob [mm] p^1>1^2 [/mm] eine wahre Aussage ist. (Bzw. in Deiner Variante ob [mm] (k+2)^1> 1^2 [/mm] stimmt.)
Das rotmarkierte [mm] n^1 [/mm] hat da nichts zu suchen.
gekommen, die Induktionsvoraussetzung zu notieren.
I.V.: ...
>
> IS:
Zu zeigen:
> [mm](k+2)^{n+1}>(n+1)^{2}[/mm]
>
Bew.:
Es ist
> [mm][mm] (k+2)^{n+1}=(k+2)^{n}\*(k+2)>n^{2}\*(k+2)
[/mm]
Da k+2 nach Voraussetzung [mm] \ge [/mm] 3 ist, hast Du nun
[mm] (k+2)^{n+1}=(k+2)^{n}\*(k+2)>n^{2}\*(k+2)\ge 3n^2.
[/mm]
Nun bist Du in der Situation, daß Du glaubhaft machen mußt, daß [mm] 3n^2 [/mm] > [mm] (n+1)^2 [/mm] ist.
An dieser Stelle bekommst Du ein (kleines) Problem: für n=1 stimmt das nämlich nicht.
Am besten, Du zeigst das jetzt erstmal für [mm] n\ge [/mm] 2, und danach kannst Du Dir überlegen, wie Du Deine Induktion rettest.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Mi 05.11.2008 | | Autor: | newcomer |
Genau das war mein Problem, das nur für [mm] n\ge2 [/mm] mein schritt galt.
Ich werde es ma nur mit p versuchen zu beweisen, danke Euch für eure Hilfe
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> Genau das war mein Problem, das nur für [mm]n\ge2[/mm] mein schritt
> galt.
Hallo,
es wäre gut, würdest Du solche Dinge gleich miterwähnen.
> Ich werde es ma nur mit p versuchen zu beweisen, danke
> Euch für eure Hilfe ,
Das p ändert an dem Problem aber nichts.
Du kannst es so machen: beginn Deine Induktion mit n=2.
Damit hast Du's dann für [mm] n\ge [/mm] 2 gezeigt.
Dann machst Du noch vor, daß es auch für n=1 gilt. (hast Du ja schon)
Gruß v. Angela
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