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| Aufgabe | Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle[mm] n\in\IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{3^k} =\bruch{3}{4} -\bruch{2n + 3}{4*3^n}
[/mm]
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Der Lösungsansatz den ich verwenden möchte ist:
Induktionsanfang:
n=1 [mm] =>\bruch{1}{3}=\bruch{3}{4} [/mm] - [mm] \bruch{2+3}{12} =\bruch{9}{12} -\bruch{5}{12} =\bruch{4}{12} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]
=> wahre Aussage
Induktionsschritt:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{k}{3^k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{3^k}+\bruch{n+1}{3^n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} -\bruch{2n+3}{4*3^n} [/mm] + [mm] \bruch{n+1}{3^n+1)} [/mm]
So... die beiden hinteren Brüche müssen jetzt ja zu [mm] \bruch{2*(n+1)+3}{4*3^(n+1)} [/mm] umgeformt werden. Da habe ich eine ganze Weile dran knobeln müssen, dann bin ich auf folgenden "Weg" gestoßen:
[mm] \bruch{2n+3}{4*3^n} [/mm] + [mm] \bruch{n+1}{3^n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{2*(n+1)+1}{4*3^n}*\bruch{3}{3} [/mm] + [mm] \bruch{n+1}{3^(n+1)}* \bruch{4}{4} [/mm] = [mm] \bruch{6(n+1)+3}{4*3^(n+1)} +\bruch{4*(n+1)}{4*3^(n+1)}
[/mm]
(sorry, das mit dem hochgestellten (n+1) ist mir nicht so recht gelungen, ich hoffe, es ist zu entziffern...)
Wenn da zwischen den beiden Brüchen ein Minus stehen würde wäre ja jetzt alles in Ordnung, aber weil da ja jetzt ein Plus steht, muss da doch irgendwas schief gegangen sein, oder?
Es wäre super, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte, ich sitze da schon eine kleine Ewigkeit dran 
Liebe Grüße!
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lilly,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Vorneweg: schreibe die Hochzahl in geschweiften Klammern " 3^{n+1} ", dann erhältst Du auch: [mm] $3^{n+1}$ [/mm] .
Zu Deiner Frage: das ersehnte Minuszeichen ist doch da, es steht vor dem 1. Bruch.
Gruß
Loddar
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ahhh, natürlich! Da habe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen!
Herzlichen Dank für die flotte Antwort :)
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So, ich wurde hier ja auf diese Diskussion verlinkt. Ich habe mir sie auch mehrfach durchgeguckt und hin und her gerechnet, ich muss aber ehrlich sagen, dass ich nicht vom Induktionsschritt zum "Weg" komme, egal wie ich hin und her rechne.
Also von hier:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{k}{3^k} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{3^k}+\bruch{n+1}{3^n+1)} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{3}{4} -\bruch{2n+3}{4\cdot{}3^n} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{n+1}{3^n+1)} [/mm] $
nach hier:
$ [mm] \bruch{2n+3}{4\cdot{}3^n} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{n+1}{3^n+1)} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{2\cdot{}(n+1)+1}{4\cdot{}3^n}\cdot{}\bruch{3}{3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{n+1}{3^(n+1)}\cdot{} \bruch{4}{4} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{6(n+1)+3}{4\cdot{}3^(n+1)} +\bruch{4\cdot{}(n+1)}{4\cdot{}3^(n+1)} [/mm] $
Wo sind da die [mm] \bruch{3}{4} [/mm] geblieben? Oder fallen die einfach weg? Dass die hinteren Brüche umgeformt werden müssen, versteh ich, mir fehlen halt diese [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
Ich hab es hin und her versucht und komme nie auf dieses Ergebnis. Könnte mir da jemand weiter helfen?
Und ein weitere Frage: Ist dies dann schon der Beweis oder muss noch weiter gerechnet werden?
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Hallo,
setze bitte Exponenten, die länger als 1 Zeichen sind, in geschweifte Klammern.
> So, ich wurde hier ja
> auf diese Diskussion verlinkt. Ich habe mir sie auch
> mehrfach durchgeguckt und hin und her gerechnet, ich muss
> aber ehrlich sagen, dass ich nicht vom Induktionsschritt
> zum "Weg" komme, egal wie ich hin und her rechne.
>
> Also von hier:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{k}{3^k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{3^k}+\bruch{n+1}{3^n+1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{4} -\bruch{2n+3}{4\cdot{}3^n}[/mm] +
> [mm]\bruch{n+1}{3^n+1)}[/mm]
>
> nach hier:
> [mm]\bruch{2n+3}{4\cdot{}3^n}[/mm] + [mm]\bruch{n+1}{3^n+1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{2\cdot{}(n+1)+1}{4\cdot{}3^n}\cdot{}\bruch{3}{3}[/mm] +
> [mm]\bruch{n+1}{3^(n+1)}\cdot{} \bruch{4}{4}[/mm] =
> [mm]\bruch{6(n+1)+3}{4\cdot{}3^(n+1)} +\bruch{4\cdot{}(n+1)}{4\cdot{}3^(n+1)}[/mm]
>
> Wo sind da die [mm]\bruch{3}{4}[/mm] geblieben? Oder fallen die
> einfach weg? Dass die hinteren Brüche umgeformt werden
> müssen, versteh ich, mir fehlen halt diese [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
> Ich hab es hin und her versucht und komme nie auf dieses
> Ergebnis. Könnte mir da jemand weiter helfen?
Das bleibt natürlich stehen!
Ich habe jetzt den link nicht verfolgt, ich sag's mal in meinen Worten:
Im eigentlichen Induktionsbeweis ist ja zu zeigen, dass gilt:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{k}{3^k}=\frac{3}{4}-\frac{2(n+1)+3}{4\cdot{}3^{n+1}}$ [/mm]
Man nimmt sich die linke Seite dieser zu zeigenden Behauptung her, formt sie so um, dass man die Induktionsvoraussetzung (auf die Summe, die bis n läuft) anwenden kann und schlussendlich die rechte Seite der Behauptung herausbekommt.
Dazu wird wie beschrieben die Summe aufgeteilt, um die Induktionsvoraussetzung anzuwenden:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{k}{3^k}=\left(\red{\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{3^k}}\right)+\frac{n+1}{3^{n+1}}=\red{\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{4\cdot{}3^{n}}}+\frac{n+1}{3^{n+1}}$
[/mm]
Das wird nun weiter umgeformt, bis die zu zeigende rechte Seite dasteht:
Schreibe mal das "-" in den Zähler, das ist weniger fehleranfällig
[mm] $=\frac{3}{4}+\frac{-(2n+3)}{4\cdot{}3^n}+\frac{n+1}{3^{n+1}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{3}{4}+\frac{-2n-3}{4\cdot{}3^n}+\frac{n+1}{3^{n+1}}$
[/mm]
Nun die hinteren beiden Brüche gleichnamig machen, dazu den mittleren mit [mm] $\blue{3}$, [/mm] den hinteren mit [mm] $\green{4}$ [/mm] erweitern:
[mm] $=\frac{3}{4}+\frac{\blue{3}\cdot{}(-2n-3)}{\blue{3}\cdot{}4\cdot{}3^n}+\frac{\green{4}\cdot{}(n+1)}{\green{4}\cdot{}3^{n+1}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{3}{4}+\frac{-6n-9}{4\cdot{}3^{n+1}}+\frac{4n+4}{4\cdot{}3^{n+1}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{3}{4}+\frac{-6n-9+4n+4}{4\cdot{}3^{n+1}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{3}{4}+\frac{-2n-5}{4\cdot{}3^{n+1}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{3}{4}+\frac{-(2n+5)}{4\cdot{}3^{n+1}}$
[/mm]
Nun das "-" wieder runterschaufeln
[mm] $=\frac{3}{4}-\frac{2n+5}{4\cdot{}3^{n+1}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{3}{4}-\frac{2(n+1)+3}{4\cdot{}3^{n+1}}$
[/mm]
Und genau das wollten wir ja im Induktionsschritt zeigen, das ist genau die rechte Seite der zu zeigenden Gleichheit.
So, nun habe ich das mal ganz ausführlich und im Detail vorgerechnet, beiße dich mal durch, ich hoffe, es wird die ganze Rechnung klar ...
>
> Und ein weitere Frage: Ist dies dann schon der Beweis oder
> muss noch weiter gerechnet werden?
Nun nicht mehr
LG
schachuzipus
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