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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Do 26.11.2009 | | Autor: | suxul |
| Aufgabe | Es sei eine Folge [mm] a_{n} [/mm] in R rekursiv definiert durch:
[mm] a_{1} [/mm] =1
[mm] a_{n+1}= [/mm] 1+2 [mm] \summe_{k=1}^{n} a_{k} [/mm] für alle n Element N
Entdecken sie ein Bildungsgesetz für die Folge [mm] a_{n}, [/mm] drücken sie dies durch eine Formel aus und beweisen sie diese Formel. |
Hallo :)
diesmal hab ich ein kleines problem... ich kann nichteinmal einen Ansatz anbieten...
Ich weiß einfach nicht wie man hier jetzt anfangen soll :( bzw die Aufgabe lösen soll :(
Kann mir wer helfen??!!?!?!?
büüüüüüüütte!
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> Es sei eine Folge [mm]a_{n}[/mm] in R rekursiv definiert durch:
> [mm]a_{1}[/mm] =1
> [mm]a_{n+1}=[/mm] 1+2 [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{k}[/mm] für alle n Element N
>
> Entdecken sie ein Bildungsgesetz für die Folge [mm]a_{n},[/mm]
> drücken sie dies durch eine Formel aus und beweisen sie
> diese Formel.
> Hallo :)
> diesmal hab ich ein kleines problem... ich kann
> nichteinmal einen Ansatz anbieten...
> Ich weiß einfach nicht wie man hier jetzt anfangen soll
Hallo,
wenn man ein Bildungsgesetz entdecken soll, ist es doch wirklich naheliegend, mal die ersten 20 Folgenglieder auszurechnen.
Wie lauten die?
[mm] a_1=
[/mm]
[mm] a_2=
[/mm]
[mm] a_3=
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
Dies bringt einen doch oft schon auf Ideen.
Was vermutest Du?
Es ist dann [mm] "a_n= [/mm] Vermutung " zu beweisen. Ich denke, daß Induktion hier paßt.
Gruß v. Angela
> :( bzw die Aufgabe lösen soll :(
> Kann mir wer helfen??!!?!?!?
> büüüüüüüütte!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Do 26.11.2009 | | Autor: | suxul |
ja hm... also ich hab sowas noch nie gemacht... mit
[mm] a_{1}=
[/mm]
[mm] a_{2}=
[/mm]
.
.
.
meinst du (??!?!?!):
[mm] a_{1}=1 [/mm] aus angabe
wähle ich
n=1 -> [mm] a_{2}= 1+2(a_{1}+a_{2})
[/mm]
n=2 [mm] a_{3}=1+2(a_{1}+ a_{2}+a_{3})
[/mm]
.
.
.
oder?
und wie schließ ich da dann auf n Bildungsgesetz?!?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Do 26.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> ja hm... also ich hab sowas noch nie gemacht... mit
> [mm]a_{1}=[/mm]
> [mm]a_{2}=[/mm]
> .
> .
> .
> meinst du (??!?!?!):
> [mm]a_{1}=1[/mm] aus angabe
> wähle ich
> n=1 -> [mm]a_{2}= 1+2(a_{1}+a_{2})[/mm]
Nein. [mm]a_{2}= 1+2a_{1}= 3[/mm]
> n=2 [mm]a_{3}=1+2(a_{1}+ a_{2}+a_{3})[/mm]
nein. [mm]a_{3}=1+2(a_{1}+ a_{2})= 1+2(1+3) = 9[/mm]
Mach mal weiter und Du siehst: [mm] a_4 [/mm] = 27
Machts jetzt "klick" ?
FRED
>
> .
> .
> .
> oder?
> und wie schließ ich da dann auf n Bildungsgesetz?!?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Do 26.11.2009 | | Autor: | suxul |
super dass hier alle so schnell helfen :)
also ja klar...
[mm] a_{1}=1
[/mm]
[mm] a_{2}=3
[/mm]
[mm] a_{3}=9
[/mm]
[mm] a_{4}=27
[/mm]
[mm] a_{5}=81
[/mm]
also wird auf das nexte a immer mit 3 multipliziert... wie stell ich jetz mit dieser erkenntnis n bildungsgesetz her?
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> super dass hier alle so schnell helfen :)
>
> also ja klar...
> [mm]a_{1}=1[/mm]
> [mm]a_{2}=3[/mm]
> [mm]a_{3}=9[/mm]
> [mm]a_{4}=27[/mm]
> [mm]a_{5}=81[/mm]
>
> also wird auf das nexte a immer mit 3 multipliziert...
Hallo,
das auch.. Aber vielleicht siehst Du auch, daß Du jedes Folgenglied als Dreierpotenz schreiben kannst.
[mm]a_{1}=1[/mm][mm] =3^{...}
[/mm]
[mm]a_{2}=3[/mm][mm] =3^{...}
[/mm]
[mm]a_{3}=9[/mm][mm] =3^{...}
[/mm]
[mm]a_{4}=27[/mm][mm] =3^{...}
[/mm]
[mm]a_{5}=81[/mm][mm] =3^{...}
[/mm]
Und jetzt nähern wir uns einem der Höhepunkte der Aufgabe:
[mm] a_n=3^{...}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Do 26.11.2009 | | Autor: | suxul |
juhu :) alles klar dann hätten wir schonmal festgestellt:
[mm] a_{n}= [/mm] 3 [mm] a_{n-1}
[/mm]
Das ist jetz das Bildungsgesetz für die Formel [mm] a_{n} [/mm] oder?
jetz muss ich das noch durch eine formel ausdrücken und beweisen.
beweisen werd ich es dann mit der vollst. induktion.
AAABER wie bilde ich jetzt die formel die ich dann beweise!?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Do 26.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Es war:
[mm] $a_1 [/mm] = 1= [mm] 3^0$
[/mm]
[mm] $a_2= [/mm] 3 = [mm] 3^1$
[/mm]
[mm] $a_3= [/mm] 9 = 3*3 = [mm] 3^2$
[/mm]
[mm] $a_4 [/mm] = 27 = 3*3*3 = [mm] 3^3$
[/mm]
......
Na, klingelts ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Do 26.11.2009 | | Autor: | suxul |
> Es war:
>
> [mm]a_1 = 1= 3^0[/mm]
>
> [mm]a_2= 3 = 3^1[/mm]
>
> [mm]a_3= 9 = 3*3 = 3^2[/mm]
>
> [mm]a_4 = 27 = 3*3*3 = 3^3[/mm]
hm ok dann ist [mm] a_{n}= a^n-1
[/mm]
hatts geklingelt?
bei der frage wie ich jetz die formel krieg die ich dann beweise brauchts noch jemand der auf die klingel drückt^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Do 26.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Es war:
> >
> > [mm]a_1 = 1= 3^0[/mm]
> >
> > [mm]a_2= 3 = 3^1[/mm]
> >
> > [mm]a_3= 9 = 3*3 = 3^2[/mm]
> >
> > [mm]a_4 = 27 = 3*3*3 = 3^3[/mm]
>
> hm ok dann ist [mm]a_{n}= a^n-1[/mm]
Hä ? Beenden wir das Drama: es ist [mm] $a_n [/mm] = [mm] 3^{n-1}$
[/mm]
So , nun beweise das mit Induktion
FRED
> hatts geklingelt?
> bei der frage wie ich jetz die formel krieg die ich dann
> beweise brauchts noch jemand der auf die klingel drückt^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Do 26.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
> juhu :) alles klar dann hätten wir schonmal festgestellt:
>
> [mm]a_{n}=[/mm] 3 [mm]a_{n-1}[/mm]
> Das ist jetz das Bildungsgesetz für die Formel [mm]a_{n}[/mm]
> oder?
Aber wieder rekursiv definiert.....
>
> jetz muss ich das noch durch eine formel ausdrücken und
> beweisen.
> beweisen werd ich es dann mit der vollst. induktion.
>
> AAABER wie bilde ich jetzt die formel die ich dann
> beweise!?!?
>
Marius
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