vollständige induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:39 So 29.10.2006 | | Autor: | acelya |
| Aufgabe | | untersuche für welche nN die ungleichung [mm] 4^n>n^4 [/mm] erfüllt ist.(auch hier soll vollständige induktion benutzt werden.)Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt |
untersuche, für welchen nN die ungleichung [mm] n!\ge3^n [/mm] gilt.(auch hier soll vollständige induktion benutzt werden.)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
dankeeeeeeee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 So 29.10.2006 | | Autor: | Phil-Andre |
Ich würde dir gerne helfen, dazu musst du allerdings etwas deutlicher werden.
1. Welche der beiden Aufgaben ist denn gemeint.
2. Was ist deine Frage / dein Problem zu der Aufgabe ?
Gruß, phil
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 So 29.10.2006 | | Autor: | edsches |
hallo zusammen,
ich habe die gleichn Probleme.
es geht um beide aufgaben.
zu der ersten habe ich angefangen mit induktionsanfang n=5.
1024 > 625
zum einen komme ich dann beim induktionsschritt
[mm] 4^{n+1} [/mm] > [mm] (n+1)^4
[/mm]
nicht weiter.
zum anderen ist die frage ob man bei dieser aufgabenstellung auch zeigen muss, dass die ungleichung für n<5 nicht gilt...
ähnliche probleme habe ich bei der zweiten aufgabe:
n! [mm] \ge3^{n} [/mm] ist für n=0 und [mm] n\ge7 [/mm] richtig.
aber mit welchem induktionsanfang beginne ich?
wenn ich mit n=7 anfange kann ich im induktionschritt
mit [mm] (n+1)!\ge3^{n+1}
[/mm]
und dann n!*(n+1) [mm] \ge 3^{n}*3 [/mm] zeigen, dass es auch für n>7 gilt.
aber was mach ich mit der null und wie beweise ich, dass 1 < n < 7 nicht gilt?
danke
edsches
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Hi, also da dein Problem offensichtlich nicht an der Aufgabe liegt, sondern an der herangehensweise an den Aufgabentyp möchte ich dir an der ersten Aufgabe hilfestellung geben:
[mm] 4^{n} > n^{4} [/mm]
Induktions Anfang
Hier gilt es zu beweisen das die Ungleichung für einen Startwert gültig sei. Da in der Aufgabe steht "für alle [mm]n \in \IN[/mm]" sind alle natürlichen Zahlen einschließlich der Null potentielle Kanidaten. Also beginnen wir bei n=0!
[mm]n = 0 : 4^{0} = 1 ?>? 0^{4} = 0 \to[/mm] TRUE
[mm]n = 1 : 4^{1} = 4 ?>? 1^{4} = 1 \to[/mm] TRUE
An dieser Stelle könnte man denken "Sieht gut aus, machen wir den ind. Schritt" aber Vorsicht. Durch etwas genaueres hinsehen können wir einen Fall erkennen in dem das ECHT GRÖSSER mit sicherheit nicht stimmt, nämlich [mm] n^{4} ?>? 4^{n}[/mm].
Aus diesem Grund die Einzelschritte ruhig fortsetzen, bis dieser Fall abgedeckt ist: (vieleicht gibts auch eine elegantere Variante, leider kenne ich sie nicht)
[mm]n = 2 : 4^{2} = 16 ?>? 2^{4} = 16 \to[/mm] FALSE
[mm]n = 3 : 4^{3} = 64 ?>? 3^{4} = 81 \to[/mm] FALSE
[mm]n = 4 : 4^{4} = 256 ?>? 2^{4} = 256 \to[/mm] FALSE
[mm]n = 5 : 4^{5} = 1025 ?>? 5^{4} = 625 \to[/mm] TRUE
An dieser Stelle breche ich ab, da erkennbar ist das das > zutreffend ist, weil der Exponent auf der linken Seite ab nun größer ist als auf der rechten.
Induktions Voraussetzung
[mm] 4^{n} > n^{4} [/mm] ist gültig für alle [mm] n \in \IN / \{2,3,4\}[/mm]
Induktions Schritt
Nun gilt es [mm] 4^{n+1}[/mm] so umzuformen,dass du [mm](n+1)^{4}[/mm] erhälst. Denk daran das du die Induktionsvoraussetzung einsetzen darfst. du musst nur darauf achten, dass sich das ECHT GROESSER Zeichen nicht umdreht!
Viel spass an dieser Stelle.
Gruß, phil.
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