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[mm] 3^{{2}^{n}}-1 [/mm] ist durch [mm] 2^{n+2} [/mm] teilbar, beweisen Sie?
ich habe so gedacht:
für n+1 [mm] 3^{{2}^{n+1}}-1 [/mm] ist durch [mm] 2^{n+3} [/mm] teilbar
[mm] 3^{{2}^{n}*2}-1 [/mm]
[mm] 2^n [/mm] = a
[mm] 3^{2a} [/mm] - 1 ist durch [mm] 2^{3}a [/mm] teilbar
ich kann nicht weiter :(kann jemand mir helfen?
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wir mögen eine nette Begrüßung immer ganz gerne.
Es ist doch angenehmer, als wenn der besucher mit der Tür ins Haus fällt.
> [mm]3^{{2}^{n}}-1[/mm] ist durch [mm]2^{n+2}[/mm] teilbar, beweisen Sie?
Der Überschrift entnehme ich, daß die Aussage durch vollständige Induktion bewiesen werden soll.
Zu einer Induktion gehört immer, daß man die zu beweisende Aussage einmal richtig hinschreibt, es gehört ein Induktionsanfang dazu, und auch das Hinschreiben der Induktionsvoraussetzung.
All das mögen wir auch gerne sehen.
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> ich habe so gedacht:
>
> für n+1 [mm]3^{{2}^{n+1}}-1[/mm] ist durch [mm]2^{n+3}[/mm] teilbar
Du bist also bereits beim Induktionsschluß.
Unter der Voraussetzung, daß die Induktionsvoraussetzung gilt, möchtest Du zeigen, daß dann auch
[mm] 3^{{2}^{n+1}}-1 [/mm] teilbar ist durch [mm] 2^{n+3}.
[/mm]
Du solltest verständliche Gleichungsketten (mit Gleichheitszeichen) schreiben, und Dein Vorgehen auch etwas kommentieren, damit wir folgen und ggf. helfen können.
Es ist
[mm] 3^{{2}^{n+1}}-1 [/mm]
=
> [mm]3^{{2}^{n}*2}-1[/mm]
[mm] =(3^{2^n})^2-1
[/mm]
[mm] =((3^{2^n}-1)+1)^2-1
[/mm]
Nun kannst Du die Induktionsvoraussetzung ins Spiel bringen, also verwenden, daß es ein [mm] k\in \IN [/mm] gibt mit
[mm] 3^{2^n}-1=k*2^{n+2}.
[/mm]
LG Angela
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