vollständiger Vektorraum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten folgenden normierten Vektorraum:
[mm] $f:=\{(a_n)_{n\in\IN} | a_n\in\IC,\exists N\in\IN : a_n=0$ für $n\ge N\}$ [/mm] |
Jetzt hab ich mal ne Frage.
Warum ist dieser Vektorraum nicht vollständig??
Ich versteh das nicht, da ja alle Folgen gegen 0 konvergieren.
Damit konvergieren alle Folgen gegen ein Element von f. Es sei denn Null ist nicht als Element in f enthalten, was doch aber nicht der Fall ist.
Oder??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Mi 29.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten folgenden normierten Vektorraum:
> [mm]f:=\{(a_n)_{n\in\IN} | a_n\in\IC,\exists N\in\IN : a_n=0[/mm]
> für [mm]n\ge N\}[/mm]
> Jetzt hab ich mal ne Frage.
>
> Warum ist dieser Vektorraum nicht vollständig??
Es wäre nett, wenn Du mitteilen würdest, wie dieser Raum normiert ist !!!
Dann sehen wir weiter.
FRED
> Ich versteh das nicht, da ja alle Folgen gegen 0
> konvergieren.
>
> Damit konvergieren alle Folgen gegen ein Element von f. Es
> sei denn Null ist nicht als Element in f enthalten, was
> doch aber nicht der Fall ist.
>
> Oder??
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f ist versehen mit der Supremumsnorm [mm] $||(a_n)_{n\in \IN}||_\infty:=sup_{n\in\IN}|a_n|$
[/mm]
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> Wir betrachten folgenden normierten Vektorraum:
> [mm]f:=\{(a_n)_{n\in\IN} | a_n\in\IC,\exists N\in\IN : a_n=0[/mm]
> für [mm]n\ge N\}[/mm]
> Jetzt hab ich mal ne Frage.
>
> Warum ist dieser Vektorraum nicht vollständig??
> Ich versteh das nicht, da ja alle Folgen gegen 0
> konvergieren.
Hallo,
Du sagst richtig, daß alle Folgen, die in f sind, gegen 0 konvergieren, denn sie sind ja ab irgendeinem Folgenglied konstant =0.
Darum geht es aber bei der Frage nach der Vollständigkeit von f überhaupt nicht.
Die Frage ist doch hier: konvergiert jede Cauchyfolge von Elementen aus f gegen ein Element aus f?
Nun muß man sich erstmal überlegen, was eine Folge in f ist:
es ist eine Folge [mm] (X_1,X_2,X_3, X_4,...), [/mm] deren Folgenglieder [mm] X_i [/mm] Elemente von f sind.
Die Elemente von f sind gewisse Folgen, und damit ist die Folge [mm] (X_1,X_2,X_3, X_4,...) [/mm] eine Folge von Folgen. Etwas verwirrend, nicht wahr?
Jetzt schauen wir man die Folge [mm] (X_n)_{n\in \IN} [/mm] mit folgenden Folgengliedern an:
[mm] X_1:=(1,0,0,0,...)
[/mm]
[mm] X_2:=(1,\bruch{1}{2}, [/mm] 0,0,...)
[mm] X_3:=(1,\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},0,0,...)
[/mm]
[mm] X_4:=(1,\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},\bruch{1}{4},0,0,...)
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
Zunächst einmal können wir feststellen, daß dies eine Folge in f ist.
Weiter kannst Du Dich davon überzeugen, daß wir es mit einer Cauchyfolge zu tun haben.
Überlege Dir nun, ob diese Folge gegen eine Folge, die in f ist, konvergiert.
Gruß v. Angela
>
> Damit konvergieren alle Folgen gegen ein Element von f. Es
> sei denn Null ist nicht als Element in f enthalten, was
> doch aber nicht der Fall ist.
>
> Oder??
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> > Wir betrachten folgenden normierten Vektorraum:
> > [mm]f:=\{(a_n)_{n\in\IN} | a_n\in\IC,\exists N\in\IN : a_n=0[/mm]
> > für [mm]n\ge N\}[/mm]
> > Jetzt hab ich mal ne Frage.
> >
> > Warum ist dieser Vektorraum nicht vollständig??
> > Ich versteh das nicht, da ja alle Folgen gegen 0
> > konvergieren.
>
> Hallo,
>
> Du sagst richtig, daß alle Folgen, die in f sind, gegen 0
> konvergieren, denn sie sind ja ab irgendeinem Folgenglied
> konstant =0.
>
> Darum geht es aber bei der Frage nach der Vollständigkeit
> von f überhaupt nicht.
> Die Frage ist doch hier: konvergiert jede Cauchyfolge von
> Elementen aus f gegen ein Element aus f?
>
> Nun muß man sich erstmal überlegen, was eine Folge in f
> ist:
> es ist eine Folge [mm](X_1,X_2,X_3, X_4,...),[/mm] deren
> Folgenglieder [mm]X_i[/mm] Elemente von f sind.
> Die Elemente von f sind gewisse Folgen, und damit ist die
> Folge [mm](X_1,X_2,X_3, X_4,...)[/mm] eine Folge von Folgen. Etwas
> verwirrend, nicht wahr?
>
> Jetzt schauen wir man die Folge [mm](X_n)_{n\in \IN}[/mm] mit
> folgenden Folgengliedern an:
>
> [mm]X_1:=(1,0,0,0,...)[/mm]
> [mm]X_2:=(1,\bruch{1}{2},[/mm] 0,0,...)
> [mm]X_3:=(1,\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},0,0,...)[/mm]
>
> [mm]X_4:=(1,\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},\bruch{1}{4},0,0,...)[/mm]
>
> [mm]\vdots[/mm]
>
> Zunächst einmal können wir feststellen, daß dies eine
> Folge in f ist.
> Weiter kannst Du Dich davon überzeugen, daß wir es mit
> einer Cauchyfolge zu tun haben.
>
> Überlege Dir nun, ob diese Folge gegen eine Folge, die in
> f ist, konvergiert.
Nein, da diese Folge gegen [mm] \bruch{1}{n} [/mm] konvergiert und [mm] \bruch{1}{n} [/mm] nicht in f enthalten ist, da [mm] \bruch{1}{n} [/mm] nie null wird.
richitig??
Muss ich das mit der Supremumsnorm nicht beachten ??
>
> Gruß v. Angela
>
> >
> > Damit konvergieren alle Folgen gegen ein Element von f. Es
> > sei denn Null ist nicht als Element in f enthalten, was
> > doch aber nicht der Fall ist.
> >
> > Oder??
>
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> > > Wir betrachten folgenden normierten Vektorraum:
> > > [mm]f:=\{(a_n)_{n\in\IN} | a_n\in\IC,\exists N\in\IN : a_n=0[/mm]
> > > für [mm]n\ge N\}[/mm]
> > > Jetzt hab ich mal ne Frage.
> > >
> > > Warum ist dieser Vektorraum nicht vollständig??
> > > Ich versteh das nicht, da ja alle Folgen gegen 0
> > > konvergieren.
> >
> > Hallo,
> >
> > Du sagst richtig, daß alle Folgen, die in f sind, gegen 0
> > konvergieren, denn sie sind ja ab irgendeinem Folgenglied
> > konstant =0.
> >
> > Darum geht es aber bei der Frage nach der Vollständigkeit
> > von f überhaupt nicht.
> > Die Frage ist doch hier: konvergiert jede Cauchyfolge
> von
> > Elementen aus f gegen ein Element aus f?
> >
> > Nun muß man sich erstmal überlegen, was eine Folge in f
> > ist:
> > es ist eine Folge [mm](X_1,X_2,X_3, X_4,...),[/mm] deren
> > Folgenglieder [mm]X_i[/mm] Elemente von f sind.
> > Die Elemente von f sind gewisse Folgen, und damit ist die
> > Folge [mm](X_1,X_2,X_3, X_4,...)[/mm] eine Folge von Folgen. Etwas
> > verwirrend, nicht wahr?
> >
> > Jetzt schauen wir man die Folge [mm](X_n)_{n\in \IN}[/mm] mit
> > folgenden Folgengliedern an:
> >
> > [mm]X_1:=(1,0,0,0,...)[/mm]
> > [mm]X_2:=(1,\bruch{1}{2},[/mm] 0,0,...)
> > [mm]X_3:=(1,\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},0,0,...)[/mm]
> >
> > [mm]X_4:=(1,\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},\bruch{1}{4},0,0,...)[/mm]
>
> >
> > [mm]\vdots[/mm]
> >
> > Zunächst einmal können wir feststellen, daß dies eine
> > Folge in f ist.
> > Weiter kannst Du Dich davon überzeugen, daß wir es
> mit
> > einer Cauchyfolge zu tun haben.
> >
> > Überlege Dir nun, ob diese Folge gegen eine Folge, die in
> > f ist, konvergiert.
>
> Nein, da diese Folge gegen [mm]\bruch{1}{n}[/mm] konvergiert und
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] nicht in f enthalten ist, da [mm]\bruch{1}{n}[/mm] nie
> null wird.
Hallo,
nun mal ganz langsam.
Die Folge [mm] (X_n)_{n\in \IN} [/mm] konvergiert ganz bestimmt nicht gegen [mm] \bruch{1}{n}.
[/mm]
Was sollte das denn bedeuten?
Die Glieder der Folge [mm] (X_n)_{n\in \IN} [/mm] sind doch - wie ich Dir schrieb - Folgen.
Nimm Dir etwas mehr Zeit zum Studium dessen, was ich Dir gesagt habe.
> richitig??
>
> Muss ich das mit der Supremumsnorm nicht beachten ??
Doch.
Bei dem Beweis, daß es eine Cauchyfolge ist, berechnest Du ja (oder solltest dies tun...) [mm] \parallel X_m-X_n\parallel.
[/mm]
Da kommt die Supremumsnorm doch vor.
Gruß v. Angela
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> > > > Wir betrachten folgenden normierten Vektorraum:
> > > > [mm]f:=\{(a_n)_{n\in\IN} | a_n\in\IC,\exists N\in\IN : a_n=0[/mm]
> > > > für [mm]n\ge N\}[/mm]
> > > > Jetzt hab ich mal ne Frage.
> > > >
> > > > Warum ist dieser Vektorraum nicht vollständig??
> > > > Ich versteh das nicht, da ja alle Folgen gegen 0
> > > > konvergieren.
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > Du sagst richtig, daß alle Folgen, die in f sind, gegen 0
> > > konvergieren, denn sie sind ja ab irgendeinem Folgenglied
> > > konstant =0.
> > >
> > > Darum geht es aber bei der Frage nach der Vollständigkeit
> > > von f überhaupt nicht.
> > > Die Frage ist doch hier: konvergiert jede
> Cauchyfolge
> > von
> > > Elementen aus f gegen ein Element aus f?
> > >
> > > Nun muß man sich erstmal überlegen, was eine Folge in f
> > > ist:
> > > es ist eine Folge [mm](X_1,X_2,X_3, X_4,...),[/mm] deren
> > > Folgenglieder [mm]X_i[/mm] Elemente von f sind.
> > > Die Elemente von f sind gewisse Folgen, und damit ist die
> > > Folge [mm](X_1,X_2,X_3, X_4,...)[/mm] eine Folge von Folgen. Etwas
> > > verwirrend, nicht wahr?
> > >
> > > Jetzt schauen wir man die Folge [mm](X_n)_{n\in \IN}[/mm] mit
> > > folgenden Folgengliedern an:
> > >
> > > [mm]X_1:=(1,0,0,0,...)[/mm]
> > > [mm]X_2:=(1,\bruch{1}{2},[/mm] 0,0,...)
> > > [mm]X_3:=(1,\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},0,0,...)[/mm]
> > >
> > > [mm]X_4:=(1,\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},\bruch{1}{4},0,0,...)[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\vdots[/mm]
> > >
> > > Zunächst einmal können wir feststellen, daß dies eine
> > > Folge in f ist.
> > > Weiter kannst Du Dich davon überzeugen, daß wir es
> > mit
> > > einer Cauchyfolge zu tun haben.
> > >
> > > Überlege Dir nun, ob diese Folge gegen eine Folge, die in
> > > f ist, konvergiert.
> >
> > Nein, da diese Folge gegen [mm]\bruch{1}{n}[/mm] konvergiert und
> > [mm]\bruch{1}{n}[/mm] nicht in f enthalten ist, da [mm]\bruch{1}{n}[/mm] nie
> > null wird.
>
> Hallo,
>
> nun mal ganz langsam.
> Die Folge [mm](X_n)_{n\in \IN}[/mm] konvergiert ganz bestimmt nicht
> gegen [mm]\bruch{1}{n}.[/mm]
> Was sollte das denn bedeuten?
> Die Glieder der Folge [mm](X_n)_{n\in \IN}[/mm] sind doch - wie
> ich Dir schrieb - Folgen.
> Nimm Dir etwas mehr Zeit zum Studium dessen, was ich Dir
> gesagt habe.
Naja, ich sollte mir überlegen, ob diese Folge, gegen eine Folge aus f konvergiert. Das hab ich gemacht.
Ich meinte ja auch, dass die Folge gegen die Folge [mm] \{a_n\}_{n\in\IN}=\{\bruch{1}{n}\} [/mm] konvergiert. Ist das nicht der Fall?
>
>
> > richitig??
> >
> > Muss ich das mit der Supremumsnorm nicht beachten ??
>
> Doch.
> Bei dem Beweis, daß es eine Cauchyfolge ist, berechnest
> Du ja (oder solltest dies tun...) [mm]\parallel X_m-X_n\parallel.[/mm]
>
> Da kommt die Supremumsnorm doch vor.
>
> Gruß v. Angela
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mi 29.06.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> >
> > > > > Wir betrachten folgenden normierten Vektorraum:
> > > > > [mm]f:=\{(a_n)_{n\in\IN} | a_n\in\IC,\exists N\in\IN : a_n=0[/mm]
> > > > > für [mm]n\ge N\}[/mm]
> > > > > Jetzt hab ich mal ne
> Frage.
> > > > >
> > > > > Warum ist dieser Vektorraum nicht vollständig??
> > > > > Ich versteh das nicht, da ja alle Folgen gegen
> 0
> > > > > konvergieren.
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > Du sagst richtig, daß alle Folgen, die in f sind, gegen 0
> > > > konvergieren, denn sie sind ja ab irgendeinem Folgenglied
> > > > konstant =0.
> > > >
> > > > Darum geht es aber bei der Frage nach der Vollständigkeit
> > > > von f überhaupt nicht.
> > > > Die Frage ist doch hier: konvergiert jede
> > Cauchyfolge
> > > von
> > > > Elementen aus f gegen ein Element aus f?
> > > >
> > > > Nun muß man sich erstmal überlegen, was eine Folge in f
> > > > ist:
> > > > es ist eine Folge [mm](X_1,X_2,X_3, X_4,...),[/mm] deren
> > > > Folgenglieder [mm]X_i[/mm] Elemente von f sind.
> > > > Die Elemente von f sind gewisse Folgen, und damit ist die
> > > > Folge [mm](X_1,X_2,X_3, X_4,...)[/mm] eine Folge von Folgen. Etwas
> > > > verwirrend, nicht wahr?
> > > >
> > > > Jetzt schauen wir man die Folge [mm](X_n)_{n\in \IN}[/mm] mit
> > > > folgenden Folgengliedern an:
> > > >
> > > > [mm]X_1:=(1,0,0,0,...)[/mm]
> > > > [mm]X_2:=(1,\bruch{1}{2},[/mm] 0,0,...)
> > > > [mm]X_3:=(1,\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},0,0,...)[/mm]
> > >
> >
> > > > [mm]X_4:=(1,\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},\bruch{1}{4},0,0,...)[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]\vdots[/mm]
> > > >
> > > > Zunächst einmal können wir feststellen, daß dies eine
> > > > Folge in f ist.
> > > > Weiter kannst Du Dich davon überzeugen, daß wir
> es
> > > mit
> > > > einer Cauchyfolge zu tun haben.
> > > >
> > > > Überlege Dir nun, ob diese Folge gegen eine Folge, die in
> > > > f ist, konvergiert.
> > >
> > > Nein, da diese Folge gegen [mm]\bruch{1}{n}[/mm] konvergiert und
> > > [mm]\bruch{1}{n}[/mm] nicht in f enthalten ist, da [mm]\bruch{1}{n}[/mm] nie
> > > null wird.
> >
> > Hallo,
> >
> > nun mal ganz langsam.
> > Die Folge [mm](X_n)_{n\in \IN}[/mm] konvergiert ganz bestimmt nicht
> > gegen [mm]\bruch{1}{n}.[/mm]
> > Was sollte das denn bedeuten?
> > Die Glieder der Folge [mm](X_n)_{n\in \IN}[/mm] sind doch - wie
> > ich Dir schrieb - Folgen.
> > Nimm Dir etwas mehr Zeit zum Studium dessen, was ich
> Dir
> > gesagt habe.
>
> Naja, ich sollte mir überlegen, ob diese Folge, gegen eine
> Folge aus f konvergiert. Das hab ich gemacht.
diese Folge ist eine Folge von Folgen, da die Elemente von f Folgen sind.
>
> Ich meinte ja auch, dass die Folge gegen die Folge
> [mm]\{a_n\}_{n\in\IN}=\{\bruch{1}{n}\}[/mm] konvergiert. Ist das
> nicht der Fall?
Ja, die betrachtete Cauchyfolge konvergiert gegen [mm]\left(a_n\right)_{n\in\IN}=\left(\bruch{1}{n}\right)_{n\in\IN}[/mm].
Aber wie zeigt man das?
>
> >
> >
> > > richitig??
> > >
> > > Muss ich das mit der Supremumsnorm nicht beachten ??
> >
> > Doch.
> > Bei dem Beweis, daß es eine Cauchyfolge ist,
> berechnest
> > Du ja (oder solltest dies tun...) [mm]\parallel X_m-X_n\parallel.[/mm]
>
> >
> > Da kommt die Supremumsnorm doch vor.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
Gruß
meili
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