vollständiger normierter Vektorraum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:49 Sa 12.06.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo zusammen, ich hab' diese MC-Aufgabe und wollte eure meine zu meinen Lösungen wissen.
Es sei a<b und [mm]C^1([a,b])[/mm] bezeichne die Menge aller stetig differenzierbaren Abblidungen [mm][a,b]\rightarrow \IR[/mm].
SInd vollgende Vektorräume normierte Vektorräume oder vollständig normierte Vektorräume?
a) [mm](C^1([a,b]),||*||)[/mm] mit [mm]||f||:=\int_a^b|f(t)|dt[/mm]
b) [mm](l^{\infty},||*||_{\infty})[/mm] mit [mm]l^{\infty}:=[x=(x_n)_{n\ge1};x_n\in\IR,||x||_ {\infty}:=sup_{n\in\IN}|x_n|<\infty][/mm]
[] sind wieder Mengenklammern!
Also zu a) ist kein normierter Vektorraum, da sei [mm]f\ne 0[/mm] (0 sei Nullfunktion) nicht unbedingt folgt, dass [mm]||f||>0[/mm]
Gegenbeispeil: [mm]f(t)=t^3 \ne 0[/mm] für a= -2 und b= 2 gilt dann:
[mm]||f||=\int_{-2}^2 t^3dt=0[/mm]
Dann wäre doch dieser Vektorraum auch kein vollständig normierter vektorraum oder?
zu b) Ist ein vollständiger Vektorraum, da er alle Eigenschaften dafür erfüllt und ein vollständig normierter Vektorraum da jede Cauchy-Folge konvergiert.Hierbei bin ich mir aber nicht sicher.
Bin mal auf eure Meinungen gespannt.
Bis denne
Jessica.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Sa 12.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Jessica!
Also, beides sind auf jeden Fall normierte Räume.
Die Frage ist nur, ob sie auch vollständig sind, d.h. ob jede Cauchy-Folge auch konvergiert.
Versuche das mal herauszufinden.
Dein Fehler:
> Also zu a) ist kein normierter Vektorraum, da sei [mm]f\ne 0[/mm] (0
> sei Nullfunktion) nicht unbedingt folgt, dass [mm]||f||>0[/mm]
>
> Gegenbeispeil: [mm]f(t)=t^3 \ne 0[/mm] für a= -2 und b= 2 gilt dann:
> [mm]||f||=\int_{-2}^2 t^3dt=0[/mm]
Du hast vergessen den Betrag zu nehmen... 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 So 13.06.2004 | | Autor: | Jessica |
N'abend!
Also bei a) würde ich sagen es ist kein vollständig Normierter Vektorraum. Bei b) schon. Bin mir hier aber überhaupt nicht sicher, weil ich nicht weiß wie ich das zeigen soll. Könntest du mir das vielleicht erklären?
Bis denne Jessica
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